E—learng在《随机过程》课程中的应用

陈立强

摘要：E-learning作为先进的教学手段和思维模式已经在高校的教学各个领域广泛使用，本文从《随机过程》这门课的设置，基本内容，现代教学手段在《随机过程》课程教学中的应用，E-learning在随机过程中的应用四个维度阐述了E-Learning在随机过程课程的应用

关键词：E-learning；随机过程；应用

中图分类号：G642 文献标识码：A 文章编号：1009-3044（2019）04-0206-02

随机过程是应用数学和概率统计专业高年级必修课程，有必要对上课过程进行研究，E-learning是最近几年出现的新的上课手段和模式，这两种事物的结合可以产生一些好的结果，下面就做一些分析。

1 《随机过程》课程的设置

《随机过程》这一课程是数学与应用数学专业和概率论专业本科高年级必开的课程之一，是概率论与数理统计课程的后续课程，凡是综合院校或者理工科院校或者部分师范院校都开设的课程，是随机数学的基础课程。《随机过程》在现实生活中和科研中有着广泛的应用。《随机过程》也是现代数学的重要分支，第二次世界大战以来诸多学科的发展都是以其为理论基础的，比如：股票理论的鞅论，随机微分方程（布朗运动），马尔科夫链，平稳定理等。如此重要的课程怎么会不在学科设置的时候加以考虑呢？笔者所在的高校是一所普通本科院校，大四第七学期就开有48学时（6周，由于兼顾到大四实习，每周上8次课），有些学校（安康学院）开设在第六学期，也是48学时，但是16周，每周三学时，相比较而言学习时间长些。学生学习了《随机过程》才深刻理会到“学以致用”，原来“数学”是有着巨大用处而且很严密很深刻的。《随机过程》的课程设置应该因专业而选择不同的课时，32课时，48课时，64课时。32课时的可以只做基本概念的介绍，比如举例介绍平稳过程的概念，泊松分布，马氏链等；48学时的课程，除了上面的介绍外，最好增加更新过程，连续时间马尔可夫链等；64学时的，可以在48学时的基础上，再增加布朗运动，增加“排队论”、鞅论等，再加入一两个实际的例子为好。

2 随机过程课程的基本内容

国内叫《随机过程》或者《随机过程及其应用》的教材或者著作太多，内容大同小异，有些适合本科生，有些适合研究生，由于出书者的着眼点不同，写的内容的难度，深度不同而已。下面就选择国内影响度较大的一本书做一下介绍。

选择北京大学何书元教授的《随机过程》的基本内容[1]如下：第一章 ：概率統计（为后续内容做铺垫）。第二章 泊松过程：§2.1 计数过程和泊松过程；§2.2 泊松呼叫流；§2.3 年龄和剩余寿命；§2.4 泊松过程的汇合与分流；§2.5 泊松过程的参数估计；§2.6 非时齐泊松过程。第三章 更新过程：§3.1 更新过程；§3.2 更新定理；§3.3 更新方程和分支过程；§3.4 开关系统；§3.5 年龄和剩余寿命；§3.6 年龄，剩余寿命和更新间隔的比较；§3.7 延迟更新过程；§3.8 有偿更新过程。第四章 离散时间马尔可夫链：§4.1 马氏链及其转移概率；§4.2 柯尔莫哥洛夫-切普曼方程；§4.3 状态的命名和周期；§4.4 状态空间分类；§4.5 不变分布；§4.6 平稳可逆分布；§4.7 离散时间分支过程；§4.8 强大数律和中心极限定理；§4.9 马氏链的统计推断。第五章 连续时间马尔可夫链：§5.1 连续时间马氏链的定义；§5.2 泊松过程是马氏链；§5.3 转移速率矩阵；§5.4 连续时间马氏链的结构；§5.5 柯尔莫哥洛夫方程；§5.6 生灭过程；§5.7 连续时间分支过程；§5.8 马氏链的极限分布；§5.9 时间可逆的马氏链。第六章 布朗运动。§6.1 布朗运动；§6.2 布朗运动的简单性质；§6.3 首中时和ArCsin律；§6.4 布朗桥与经验过程；§6.5 布朗运动的轨迹；§6.6 随机游动与布朗运动。第七章 应用举例：§7.1 互联网的PageRank问题；§7.2 简单排队问题；§7.3 系统维修问题。

上面介绍的随机过程是比较全面的，有深度的，作为本科开设的随机过程是合适的。不同的教材由于面对的教学对象不同可以有不同的选择，选择合适的深度、难度、章节。

3 现代教学手段在《随机过程》课程教学中的应用

利用现代教学手段，不仅可以为教师加大课堂容量，提高课堂效率，而且可使教学内容具体化、形象化，化繁为简，变难为易，使学生的视觉、听觉等多种感觉器官综合运用于学习，从而提高学习效率，优化课堂教学，全面提高学生素质。目前计算机辅助教学手段越来越普遍的被应用到课程教学中。将多媒体适当运用于课堂教学，可以激发学生的学习兴趣，渲染教学氛围，构置特定的教学情境，同时利用电脑动画模拟演示，可以生动形象的显示不同类型的随机过程其轨道结构的不同，以及各自具有的特性，这比纯粹用语言或文字来描述要清楚得多，学生也就更容易理解，因而能收到事半功倍的效果。[2]

说到现代教学手段，就不能不提E-learng，E-learng在随机过程的教学中也起了很大的作用。

E-learng教学作为多媒体教学技术背景下诞生的目前最流行的教学理念（或手段），在当前高校各门学科（不管是文科还是理科还是工科等）的教学中都有广泛应用，他可以延长课堂教学时间，增大课堂教学容量，可以给学员以自主学习的空间（在课堂由于各种原因没弄明白，可以把课堂知识在课后自己参悟透，对于学习优秀的同学，也可以提前学习相关内容，硬件只需要有一台电脑，连上网线，或者去电子阅览室，这些都是高校学员很容易满足的），减轻教师教学压力（总感觉课时不够，讲课不透等），节省教学综合资源。

4 关于E-learning教学的学习模式在《随机过程》中的应用

目前从技术层面来看，E-learning系统的一个基本部分是学习管理系统，该系统被用来管理作为注册用户进行学习的学生，跟踪他们的课程完成情况以及学习效率的提高。另一个基本部分，学习内容管理系统，起到的作用与学习管理系统基本相同，但是它还能用来传播、发展和管理课程。这些系统都必须与课程内容结合起来，课程内容能够被封闭开发、定制、并打包获得。这样就有了不同形式的学习和培训：实时在线，或称之为同步学习，自定步骤，或称之为异步学习，还有作为补充的课堂培训，实现“五A学习模式” ，也就是说学习可以根据学习者自身的特点和自主地选择Anywhere， Anytime，Anything，Anyone，Ability的学习模式。这是目前较为流行的E-Learning学习模式。[3]

具体到E-learning在《随机过程》课程中的应用，本人觉得应该有下面几个注意事项：第一，E-learning教学并不是让学生自己一个人私下阅读或者观看视频材料，或者课堂上自己少讲，让学生自己一个人去弄明白所讲授的内容，这样做的话，就是教师懒政，用该提前把讲课的完整视频发到学生班级群里，或者提供优质课的链接，规定学生在上课之前自己观看，课堂上先把要讲授的知识先串讲一遍，再组织学生提问，分析问题，让学生自己作答，给出评判标准，弄清楚讲解的问题。第二，教师永远是课程的进程的主导者，要把握好进度、时间、难点、重点、例题的介入、提问的地方等，这样才能起到“四两拨千斤”的作用，不能放任学生自己讨论问题“没完没了”，每个问题提出，解答，讨论都要“恰到好处”，没讨论透彻或者討论太偏都是不合适的。第三，要注意E-learning教学的程序，提前公布学习内容（视频材料）到相关媒介，课堂点拨学习内容，提出问题供学生讨论，总结本节课的知识点，布置作业，检查作业。这些环节每一个都很重要，必须按部就班的认真完成。第四，不要每节内容都要多媒体讲解，有些《随机过程》的章节不适合用多媒体，比如：推理的内容，柯尔莫哥洛夫的向前向后方程的推导等就不适合做成课件，就算做下来也是纯文字的搬迁，毫无意义，等于把教材的文字重新敲到ppt上而已。直接板书估计更快捷。

给出《随机过程》课程E-learning方法上课的例子。

选自何书元教授《随机过程》第二章：泊松过程，其主要内容有：A.随机过程和随机序列；B.计数过程；C.泊松过程。

第一步，把泊松过程的讲解材料，最好是视频资料放到班级群（也可是其他的媒介，学员能使用的媒介），提前一周的时间放出去，学生好有时间提前学习，这是很重要的步骤。视频讲解可以越细致越好，因为学员可以反复地听和看，反复的理解，这比上课时只讲一遍效果要好得多，学员在课前就可以理解课程的70%。

第二步，课堂上根据ppt提示，讲解清楚A.随机过程和随机序列；B.计数过程；C.泊松过程这三个知识点，这三个知识点是环环相扣的，不要跨越式讲解，注意到知识的衔接，泊松过程是计数过程的特例，计数过程是随机过程的特例，结合在黑板上画出泊松过程的简图。讲完后，要注意提问，比如：教材P28例1.1，上海证券交易所开盘后，股票买卖的一次构成一个泊松过程，如果每10分钟平均有12万次买卖成交，计算该泊松过程的强度[λ]和1秒内成交100次的概率。牢牢抓住泊松过程强度的概念和泊松过程的计算，这道题就可以解决掉，不需要太多板书，例题直接提醒学员翻书看，可以节省时间，也可以不在ppt上敲出这道题，直接给个页码就好，例题的难度要恰到好处，紧紧结合前面讲解的泊松过程的概念，这样才能做到有的放矢，提高效率。讲完后，问题提问完后，要适时总结并布置作业，强调作业要批阅，进一步督促学员消化掉已学的的知识。

第三步，整理学员提问回答的问题放在群里，让学员继续下去讨论，让其提出一些开放性问题，不给标准答案，启发学员发散式思维。

整个上课过程就是E-learning的思维方式，授课模式，完全可以充分利用现有的高校教学资源，把《随机过程》这门课上好。

参考文献：

[1] 何书元.随机过程[M].北京大学出版社，2008.

[2] 吕芳，王振辉.关于应用随机过程教学的思考[J].中国科教创新导刊，2009（30）.

[3] 罗忠民，陈楚君.E-Learning定义与特征研究[J].外语教学， 2005，26（3）.

【通联编辑：光文玲】