压缩感知在图像处理中的应用

吴江月

摘要：压缩感知是最近几年的研究热点，有很多领域都与之相结合，既有创新也提高了效率。它是一种新的采样理论，利用随即采样获取一些包含全部信息的少量信号，然后使用非线性重建算法来恢复原始信息。将CS与图像处理相结合，可以减少压缩成本和采集数据的代价，提高图像处理传统技术的效率。该文主要对CS在图像恢复中的应用进行研究，叙述了压缩感知的理论，以及稀疏矩阵、矩阵填充、重构算法等。最后，与传统的图像恢复技术相比较，总结出存在的不足和改进，并对其未来的发展进行展望。

关键词：图像处理，图像复原，压缩感知

中图分类号：TP18 文献标识码：A 文章编号：1009-3044（2019）04-0178-02

Abstract：Compression perception is a hot research topic in recent years. There are many fields combined with it， both innovation and efficiency are improved. It is a new sampling theory， which uses random sampling to obtain a small number of signals containing all the information， and then uses nonlinear reconstruction algorithm to restore the original information. The combination of CS and image processing can reduce the cost of compression and data acquisition， and improve the efficiency of traditional image processing technology. This paper mainly studies the application of CS in image restoration， and describes the theory of compression perception， sparse matrix， matrix filling， reconstruction algorithm and so on. Finally， compared with the traditional image restoration technology， Summarizes the existing shortcomings and improvements， and prospects for its future development.

Key words：Image processing； image restoration； compression perception

我們先了解一下以前图像恢复理论，“老式压缩图像”是把原始图像表示为不同“小波”的线性叠加，保留下那些强度较高的小波的系数，其他的小波系数都舍弃掉。举个例子，假设原始的1024×2048图像的自由度有一百万个，那我们要想使用小波来完整的表示这个原始图像就需要一百万个小波，而且这些小波彼此都不一样。但是小波理论认为只要图像足够稀疏，就可以进行压缩，这个图像就是一个有意义的典型的图像；我们只需要利用一百万中其中的五万个小波就可以获取完整的原始图像的信息，剩下的九十五万小波没什么用，它们只是制造了很多观测者基本上看不见的“噪声”而已。（这也不是永远适用，小波算法适合用来压缩含有少量或者纹理不是很多的图像，纹理较多的图像一般不使用小波算法进行压缩）。

既然一百万个小波系数里只有五万个小波系数是有效的，那我们只提取这五万个小波系数并进行计算就可以。但是这五万个小波系数在我们计算之前并不知道是哪些个，计算机更不知道，所以计算机执行时只能对所有的小波系数进行计算，从而把图像转换成基本小波，然后再根据需要保留其中有重要作用的五万个，其余的舍弃。

综上所述，如果要压缩一个图像，虽然需要压缩图像的全部信息，但是只需要对其中一部分进行存储，所以压缩感知在这方面可以很好地发挥作用。它的理论依据是：既然只需要五万个小波就可以恢复整个图像，那我们只做五万次的测量与计算，不需要对所有的小波进行计算测量。

下面来简单介绍一下压缩感知与图像处理的结合的难点。根据上面的描述，需要满足两个要求才可以实现采集少量数据就能恢复完整信息。第一个要求是要保证采集到的少量数据包含原始图像的完整信息；第二个要求是需要设计一种可行性高的算法能把采集到的数据进行解压得到完整的原始信息。

1 压缩感知理论

众所周知，压缩感知是一种采样理论，现在我们来了解一下它是一种怎样的采样理论。 先来说一下什么事采样，采样其实就是其字面意思，也就是取样、抽样的意思。采样定理最先是由奈奎斯特推出并提出来的，所以它也叫奈奎斯特采样定理， 后来 C. E.香农对这个定理进行了详细的说明和引用，人们就又称它为香农采样定理。香农采样定理是用来处理信号的一种定理，按照该定理的描述，采样频率和信号频谱之间存在一种关系，通俗地讲，就是当模拟/数字信号在转换时，采样频率只要满足比信号的最高频率大且大于它的2倍这个条件，那么可以保证随机采样得到的样本信号包含全部的原始信息。 压缩理论是一种不同于它的新的采样理论：在保证信号或图像可以稀疏表示的前提下，先对信号或图像的测量值进行采集，也就是建立观测矩阵，然后选择合适的重构算法对采集到的测量值进行重构，从而恢复完整的原始信号或图像信息。

这样一来，采样不再被采样频率所限制，而且采样获得的数据量远少于香农采样定理的数据量。

想要获得适合的信号的测量值，就要保证信号的稀疏性和非相关性；我们研究的是压缩感知，所以要设计合适的观测矩阵将信号压缩，同时还要保证观测矩阵包含原始信号的全部信息；最后就是要设计合适的重构算法从采样的少量测量值中恢复出完整的信号的原始信息。

2 壓缩感知的约束条件

2.1 稀疏表示

因为压缩感知是一种采样理论，所以采样的要求就是所采集的信号分布尽可能地稀疏或者图像压缩后的矩阵表示尽可能地稀疏，这样才能保证采样的随机性，同时也能保证采样能高效准确地采集到包含全部信息的信号。由此信号的稀疏表示或者图像压缩的稀疏矩阵成了压缩感知的一个重要前提条件。

稀疏表示是近几年随着压缩感知的兴起而流行开来的一个研究热门，它其实就是对原始信号进行分解。在图像压缩中，就是在图像的压缩矩阵中使用很少的信号来表示整个图像的信息。

2.2 测量矩阵

压缩感知的第二个约束条件就是测量矩阵。什么是测量矩阵呢？测量矩阵是可以自己构造的或者是已经存在的像随机高斯矩阵，傅立叶变换矩阵，它主要构造出来可以和稀疏矩阵符合不相关性就可以。论文中很多都是根据研究来自己构造一个维度为mxn的测量矩阵，主要就是可以让 x（原信号的维度N）降维为y（Mx1），因为N是远远大于M的。

目前测量矩阵被分为两类，一类是随机性的测量矩阵，一类是确定性的测量矩阵。随机测量矩阵的例子有高斯随机测量矩阵、傅立叶矩阵、二进制稀疏矩阵等，但由于随机测量矩阵具有不确定性，需要进行大量实验求平均，所以它的计算复杂度比较高，不推荐使用。现在对于测量矩阵的研究主要是对确定性测量矩阵的研究。确定性测量矩阵有循环矩阵、托普利兹矩阵等。

那测量矩阵有什么用处？一个好的测量矩阵的构建对测量值的获取和图像的恢复起着至关重要的作用，构造好一个合格的测量矩阵可以在任意一个稀疏图像满足在压缩的过程中不丢失关键信息的前提下，高效精确的恢复出原始图像。

2.3 重构算法

压缩感知的第三个重要的约束条件是重构算法。它是一个重要的用来获取结果的方法，重构算法可以使我们从采样得到的样本中重构出原有的全部信息或重构出原始图像，主要有迭代阈值算法、凸优化算法、正交匹配追踪算法、基追踪算法等等。在该文中主要使用迭代阈值算法，接下来详细介绍一下什么是迭代阈值算法。

正如它的名字一样迭代阈值算法就是通过迭代来寻找阈值。迭代阈值算法又分为迭代硬阈值和迭代软阈值两类算法，在此主要介绍迭代硬阈值算法。迭代硬阈值算法是根据一个优化问题推导出来的，分为三个步骤来进行：向量初始化；设定迭代顺序；执行迭代程序得出结果。

3 压缩感知在图像处理中的应用

压缩感知已经在很多领域都有应用，比如说压缩感知成像应用在光谱成像、雷达成像、医疗成像等等，还有应用于图像的复原和去模糊，在图像识别领域也有很好的应用。

本文主要针对图像的复原与压缩感知的结合进行研究。图像复原的传统算法有维纳滤波复原、规则化滤波复原、盲去卷积复原等。本文主要把迭代阈值算法与图像复原结合起来进行算法的改进与优化。

该实验是把迭代硬阈值算法分别与维纳滤波复原相结合、与规则化滤波复原相结合以及与盲目卷积复原相结合，通过结合发现，迭代硬阈值算法分别提高了这三种复原算法的效率，如下图所示。

4 结束语

压缩感知在图像处理中的应用技术现在还不是很成熟，有待提高和发展。在理论方面，压缩感知和图像处理的结合是可行的，但是稀疏表示、测量矩阵的建立、算法重构等还有待深入的研究；在应用方面，由于理论上的结合还不是很成熟，所以实际操作时与预期目标还是有较大的差距。但是，只要我们继续深入钻研，CS会被我们很好的应用起来，提升它的潜在的发展空间。

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