预应力撑杆柱整体稳定性能的数值分析

刘迎春，李 洋，张文福,2，邓 云，邓世林 ，严 威

(1.东北石油大学土木建筑工程学院，黑龙江 大庆163318; 2.南京工程学院建筑工程学院，江苏 南京 211167)

预应力撑杆柱被广泛地应用在高塔、桅杆、柱子和支撑玻璃平面的桁架中，有时也被应用在框架和特殊结构中。这些柱子相对比较细长，其荷载承载力主要由柱子的屈曲性能控制。可以通过预应力索和短横隔的共同作用来提高预应力撑杆柱的屈曲强度，其中短横隔通过传递索的横向力来约束中心柱的屈曲；因此预应力和撑杆柱可以阻止普通柱子的一般屈曲和潜在地提高柱子的竖向轴心承载力。

预应力撑杆柱通常由3部分组成(如图1所示)：1)中心压杆，截面形式可以为实腹式(如圆管)和格构式，且长细比一般较大；2)拉索，一般对称布置在压杆的两侧，拉索的预拉力T0应该能保证在撑杆柱失稳时不退出工作(即T>0)，且拉索与中心压杆及横撑杆之间均铰接；3)横隔，一般由横隔板或横撑杆构成，其横截面尺寸远小于中心压杆，且与中心压杆刚性连接，图1(e)给出了2种由横撑杆组成的横隔形式。预应力撑杆柱的横隔一般为1～3道，拉索数目为3～4道[1-3]。

图1 预应力撑杆柱的组成形式

从受力角度来讲，预应力撑杆柱仍然是由中心压杆来承受轴向荷载，而相比之下横隔中撑杆的轴向压力则较小；因此，预应力撑杆柱的失稳本质上还是中心压杆的失稳，而拉索和横撑杆的作用就是对中心压杆提供中间侧向弹性支撑，从而提高中心压杆的屈曲荷载[4-8]。对于单横隔预应力撑杆柱来说，其屈曲失稳破坏变形可能存在2种不同的形式，即对称失稳破坏变形和反对称失稳破坏变形，分别如图2(a)、图2(b)所示[9]。

有关预应力撑杆柱的计算理论及稳定设计，国内外的一些学者已经做了许多理论和试验研究。

1963年，Chu等[4]研究了带有3个横撑杆的支柱，提出了基于整体关系来确定屈曲荷载的求解方法并进行了试验研究。1967年，Mauch等[5]在文献[4]的基础上研究发现在柱子中加撑杆可以提高柱子50%的承载力。1970年，Voevodin[6]研究了预应力桁架柱的稳定性，中心柱四周布置有桁架形式的框架，提出了确定最大屈曲荷载的分析方法。1975年，Smith等[7]研究了单横隔撑杆柱的屈曲，并且推导出了确定撑杆柱弹性屈曲荷载的方程。Khosla[8]用有限元方法求解了撑杆柱的屈曲荷载，提出了有限元规范来确定撑杆柱的弹性屈曲荷载。

图2 屈曲模态

1977年，Temple[9]采用有限元方法分析了预应力撑杆柱的屈曲荷载。1979年，Hafez等[10]针对理想撑杆柱推导了索预拉力和屈曲荷载的线性关系。1982年，Wong等[11]研究了带有初始缺陷的撑杆柱。1984年，Temple等[12]研究了撑杆柱的破坏准则。2002年，Chan等[13]采用一种带有初始缺陷的单元来分析预应力撑杆柱的弹性稳定性能，提出了预应力撑杆柱的简化算法。2009年，Saito等[14]对预应力撑杆柱相关屈曲进行了数值研究,即单橫隔预应力撑杆柱在平面内可能发生2种屈曲模态(对称失稳和反对称失稳)，对此2种模态进行组合，即可得到预应力撑杆柱的相关屈曲模态，并提出了预应力撑杆柱中施加预应力大小的计算理论公式。2010年，Saito等[15]对预应力撑杆柱中最优预应力大小及最佳撑杆结构形式进行了研究。2006年，郭彦林等[16]针对单橫隔预应力撑杆柱分析了其弹性屈曲形式及弹塑性极限承载力，并提出了单橫隔预应力撑杆柱的实用设计方法。2006年，舒赣平等[1]做了内撑式预应力撑杆柱的稳定承载力实验研究，重点研究了不同长细比、不同柱截面形式、不同支座约束条件的预应力撑杆柱的稳定承载力。2011年，刘学春等[17]对高性能钢预应力撑杆柱整体稳定性能进行了研究，分析结果表明:预应力撑杆体系和高性能钢材的合理使用,能显著提高轴心受压柱的承载能力,充分发挥两者的优势。2016年，周焕延等[18]做了预应力轴压撑杆钢柱高温性能试验研究和数值分析。本文以单橫隔预应力撑杆柱为研究对象，对其进行数值分析研究，并考察不同参数，如：横撑杆长度h及直径Ds和预应力T等参数对预应力撑杆柱弹性屈曲荷载的影响，以期为实际工程设计提供初步的参考依据。

1 有限元模型的建立

1.1 有限元分析时预应力撑杆柱的屈曲准则

在稳定平衡状态，考虑到轴向力或中面内力对弯曲变形的影响，根据势能驻值原理得到结构的平衡方程为

([KE]+[KG]){U}={P}

(1)

式中：[KE]为结构的弹性刚度矩阵；[KG]为结构的几何刚度矩阵，也称为初应力刚度矩阵；{U}为节点位移向量；{P}为节点荷载向量。式(1)也是几何非线性分析的平衡方程。

为得到随遇平衡状态，应使系统势能的二阶变分为零，即：

([KE]+[KG]){δU}=0

(2)

因此必有：

|[KE]+[KG]|=0

(3)

式(3)中的结构弹性刚度矩阵为已知，因外荷载也就是待求的屈曲荷载，故几何刚度矩阵为未知的。为求得该屈曲荷载，任意假设一组外荷载{P0},与其对应的几何刚度为[KG0]，并假定屈曲时的荷载为{P0}的λ倍，故有[KG]=λ[KG0]，从而式(3)可化为：

(4)

将式(4)写成特征值方程为

([KE]+λi[KG]){φi}=0

(5)

式(5)中：λi为第i阶特征值；{φi}为与λi对应的特征向量，是相应该阶屈曲荷载时结构的变形形状，即屈曲模态或失稳模态。

在ANSYS的特征值屈曲分析中，其结果给出的是λi和{φi}，即屈曲荷载系数和屈曲模态，而屈曲荷载为λi{P0}。

1.2 单元的选择与相关模拟技术问题

中心压杆和横撑杆均采用三维有限应变梁单元BEAM188模拟，可以自定义截面，更有效地仿真实际结构。拉索通常采用LINK10单元模拟，该单元是非线性单元，采用非线性分析获得静力解，即得到结构在变形后位置的平衡结构，此时得到的几何刚度矩阵可用于特征值屈曲分析。这2种单元均具有塑性，大变形、大应变、应力刚化等功能[19-20]。

1.3 如何在ANSYS中实现有预应力的结构屈曲分析[20]

实际工程结构经常采用预应力结构，如先张梁和后张梁，斜拉桥、细杆拱桥，张拉弦结构及预应力钢梁等，此时其特征值屈曲分析又有不同。

1)索通常采用LINK10单元模拟，该单元是一非线性单元，采用非线性分析获得静力解，即得到结构变形后位置的平衡结果，此时得到的几何刚度矩阵可用于特征值屈曲分析。

2)不管采用初应变方法或是降温方法施加预应力，所生成的几何刚度都将被同时缩放；因此其屈曲荷载求解方法与有恒载和活荷载的方法相同，即不能将预应力同时缩放，应采用迭代方法-保持预应力不变，不断改变外荷载值，直到屈曲荷载系数为1.0为止。此时外荷载值即是屈曲荷载值。

1.4 有限元模型的验证

采用有限元软件ANSYS建立文献[17]中的有限元模型并对其进行有限元分析，且分析结果与文献[17]中的结果进行对比，以此来验证本文预应力撑杆柱有限元分析中建模的正确性。

文献[17]中分析模型几何参数如下：钢材弹性模量为EG=206 GPa，索的弹性模量为ES=125 GPa；中心压杆长度L= 9.0 m，截面规格为φ200×8；撑杆长度hc=0.3 m，截面规格为φ50×8；拉索截面直径Ds=20 mm，预拉力T=100 kN。

预应力撑杆柱ANSYS分析的一般步骤：

1)定义单元类型、材料特性、实常数，钢管选用Q235钢材，其弹性模量Es=2.06×105MPa，泊松比μs=0.3。

2)建立预应力撑杆柱几何模型，先建立中心柱上下两端的关键点，再建立中心柱两侧横撑杆的左右两端关键点，最后通过关键点生成几何模型。

3)分别赋予中心柱、横撑杆和预应力拉索的单元类型、实常数和材料特性，然后进行网格划分，梁单元长度取为中心压杆长度的5%。

4)施加约束：为了准确地模拟预应力横撑杆简支柱在平面内的屈曲，在有限元模型中，Y轴通过截面中心沿试件长度方向，X轴和Z轴分别作为截面的弱轴和强轴，所有节点的扭转变形和Z向平动位移均被约束，试件两端的X向位移以及试件低端的Y向位移也被约束[19]。

5)施加荷载：采用初应变法施加拉索的预应力，在中心柱顶端施加一个竖直向下的集中力。

6)求解：首先激活预应力效应，便可考虑预应力效应，对于后面要进行的特征值屈曲分析，因要使用几何刚度矩阵，激活预应力效应才能生成和保存该矩阵。但静力解也可为非线性分析，即非线性分析完成后生成几何刚度矩阵，然后进行特征值屈曲分析，应采用迭代方法-保持预应力不变，不断改变外荷载值，直到屈曲荷载系数为1.0为止。此时外荷载值即是屈曲荷载值。

7)后处理：通过/POST1命令进入通用后处理器，查看荷载屈曲系数和屈曲形状。

有限元模型如图3所示。本文有限元分析结果与文献[17]中的结果见表1。

图3 有限元模型

模型本文有限元解文献[17]有限元解误差无预应力柱NE/kN 558.239557.20.186%预应力撑杆柱Ncr/kN834.643811.22.81%

由表1可知，本文中有限元分析结果与文献[17]的有限元分析结果之间的误差极小，从而说明在本文中有限元分析时，有限元建模具有足够的精度；因此可以对本文中预应力撑杆柱的弹性屈曲性能进行数值分析。

2 预应力撑杆柱弹性屈曲数值分析

下面基于有限元软件ANSYS，通过数值方法来分析单横隔预应力撑杆柱的屈曲荷载。数值模型的几何参数如下：预应力撑杆柱长度L=12.0 m，中心压杆(圆管)的截面尺寸Db×tb=200 mm×8 mm，拉索(圆钢)的截面直径Dc=20 mm。钢材弹性模量为EG=206 GPa，索的弹性模量为ES=125 GPa。考虑以下3个参数变化对预应力撑杆柱屈曲荷载的影响：横撑杆长度h，变化范围为0.1～1.2 m；横撑杆(圆管)截面直径Ds，分别取50、75、100 mm 3个值，其壁厚ts取定值8 mm；预应力T进行扩展参数分析。下文所提的预应力撑杆柱的屈曲荷载用Ncr表示，无预应力柱的屈曲荷载用NE表示。

2.1 横撑杆长度h及直径Ds对预应力撑杆柱弹性屈曲荷载的影响

在有限元建模过程中，分别变化预应力撑杆柱长度h及直径Ds进行有限元求解，研究发现预应力撑杆柱横撑杆长度h及直径Ds与其弹性屈曲荷载的关系见图4。注意，参数分析时每种情况下预应力T取值见表2。

图4 横撑杆长度h及直径Ds对预应

L/mDs /mmh /mT/kN屈曲形式0.115正对称0.220正对称0.325正对称1250、75、1000.425正对称0.530正对称0.635正对称0.745正对称0.855反对称0.955反对称12501.055反对称1.155反对称1.255反对称0.860反对称0.960反对称12751.060反对称1.160反对称1.260反对称0.870反对称0.970反对称121001.070反对称1.170反对称

由图4可知：(1)预应力撑杆柱弹性屈曲荷载Ncr随横撑杆长度h的增大而增大，但当横撑杆长度h超过一定范围时，其对预应力撑杆柱弹性屈曲荷载Ncr的影响不大。(2)当橫撑杆长度h<0.8 m时，预应力撑杆柱发生正对称失稳；当橫撑杆长度h>0.8 m时，预应力撑杆柱发生反对称失稳。(3)当横撑杆长度h<0.8 m时，即预应力撑杆柱发生正对称失稳时，横撑杆直径Ds的变化对预应力撑杆柱弹性屈曲荷载Ncr没有影响；当横撑杆长度h>0.8 m时，即预应力撑杆柱发生反对称失稳时，预应力撑杆柱弹性屈曲荷载Ncr随横撑杆直径Ds的增大而增大。

为了说明本文预应力对预应力撑杆柱参数分析的正确性，与文献[16]的参数分析结果进行了对比，对比结果见图5。

图5 本文参数分析与文献[16]参数分析对比

由图5可知，本文参数分析结果与文献[16]的参数分析结果吻合良好，可以说明本文预应力撑杆柱参数分析的正确性。

2.2 预应力T对预应力撑杆柱弹性屈曲荷载的影响

图6中纵坐标表示Ncr/NE为无量纲，其中Ncr为预应力撑杆柱的屈曲荷载，NE为无预应力柱的屈曲荷载。横坐标表示T/NE为无量纲，其中T为预应力大小。

(a) (b)

由图6可知，无论预应力撑杆柱发生对称失稳破坏还是反对称失稳破坏，当预应力T在一定范围时，预应力撑杆柱弹性屈曲荷载Ncr随预应力T的增大而增大；但当预应力T超过一定范围时，预应力撑杆柱弹性屈曲荷载Ncr随预应力T的增大而减小。此种情况也验证了文献[16]中所得到的结论，即当索的预应力T达到临界预应力Topt，索的预拉力不宜太大，因为预应力撑杆柱的整体屈曲荷载是随着索的预拉力的增大而减小；因此，预拉力大小对平面预应力撑杆柱的屈曲荷载的影响比较大，在实际工程中应该合理选择预应力T，以充分发挥预应力撑杆柱的性能。

2.3 体内预应力柱(即横撑杆长度h=0)

当预应力撑杆柱横撑杆长度h=0时，预应力撑杆柱就变成沿柱轴线方向体内布置预应力筋的预应力柱，其简化模型如图7所示。采用大型通用有限元软件ANSYS通过数值方法分析沿轴线方向体内布筋预应力柱的弹性屈曲性能。有限元模型如图8所示。

由图9可知，随着预应力T的增大，沿轴向体内布筋柱子的弹性屈曲荷载Ncr逐渐减小。当T=0时，柱子的屈曲荷载Ncr为NE，且当预应力T=4NE时，柱子的屈曲荷载Ncr为零。

图7 简化计算模型

图8 体内预应力柱有限元模型

图9 预应力对体内预应力柱弹性屈曲荷载的影响

3 结论

通过对预应力撑杆柱进行有限元分析及扩张参数分析可知，参数横撑杆长度h及直径Ds和预应力T对预应力撑杆柱的弹性屈曲荷载影响如下：

1)随着横撑杆长度h的增大预应力撑杆柱弹性屈曲荷载Ncr增大，但当横撑杆长度h超过一定范围时，其对预应力撑杆柱弹性屈曲荷载Ncr的影响不大。

2)当橫撑杆长度在h<0.8 m的范围时，预应力撑杆柱发生正对称失稳；当橫撑杆长度在h>0.8 m的范围时，预应力撑杆柱发生反对称失稳。

3)当横撑杆长度在h<0.8 m范围时，即预应力撑杆柱发生正对称失稳时，横撑杆直径Ds的变化对预应力撑杆柱弹性屈曲荷载Ncr没有影响；当横撑杆长度在h>0.8 m范围时，即预应力撑杆柱发生正对称失稳时，预应力撑杆柱弹性屈曲荷载Ncr随横撑杆直径Ds的增大而增大。

4)当预应力在一定范围时，预应力撑杆柱弹性屈曲荷载Ncr随预应力T的增大而增大，但当预应力T超过一定范围时，预应力撑杆柱弹性屈曲荷载Ncr随预应力T的增大而减小。

5)当预应力撑杆柱横撑杆长度h=0时，随着预应力T的增大，沿轴向体内布筋柱子的弹性屈曲荷载Ncr逐渐减小。且当预应力T=4NE时，柱子的屈曲荷载Ncr为零。