考虑预防性维修的柔性二维延长质保定价策略研究

张晓磊, 苏春

(东南大学 机械工程学院, 江苏 南京 211189)

随着经济全球化的推进,制造商的业务重点开始从单纯的销售产品,向营销产品与售后服务并重的模式转变[1]。作为产品售后的重要组成部分,质保服务可以帮助企业博取顾客信赖、赢得市场。质保是制造商对产品发生的特定故障现象,向顾客提供更换、维修等服务的契约[2]。根据定义质保界限的变量数量,质保可以分为一维质保、二维质保以及多维质保。一般的,产品在初始销售时会附带基本质保(basic warranty,BW)条款。BW结束后,顾客需要对是否支付额外费用购买延长质保(extended warranty,EW)合同作出决策。从制造商的层面,只有当EW的售价超过EW期间所要承担的维修费用时才能盈利。因此,延长质保(延保)的价格是交易双方都关注的重要变量。近年来,一些学者通过考虑不同维修策略构建延长质保的定价模型。Jack等[3]考虑顾客购买EW的时刻和范围,利用博弈论方法确定延长质保价格。Musakwa[4]提出一个生存时间模型,用于解决有限使用量数据下的汽车延保定价问题。Bouguerra等[5]在一维质保框架下,分析维修间隔期和质保范围对延保价格的影响。Tong等[6]考虑顾客购买EW的时间点,研究二维EW的定价机制。Darghouth等[7]考虑维修过程中的学习效应,优化质保合同的价格和范围。

以上研究多关注修复性维修(corrective maintenance,CM),而实施预防性维修(preventive maintenance,PM)措施往往可以减少产品故障次数,降低质保成本和停机风险。Kim等[8]从产品寿命周期的角度,讨论质保期内最优离散PM方案。Chen等[9]考虑2类故障模式,分析连续PM措施对可更新免费更换质保策略的影响。Chang等[10]制定产品寿命周期内最优PM方案以提高制造商利润。Su等[11]研究柔性质保合同下质量升级和PM策略联合优化问题。Su和Wang[12]以顾客何时购买EW为决策点,针对不同顾客分阶段地提供定制化PM服务。

现有文献主要考虑一维延长质保的优化问题,针对二维延长质保定价机制的研究还很少见。此外,由于工作环境和使用方式不同,产品的性能退化和故障规律存在很大差异,质保定价模型应考虑上述因素影响。本文将二维PM策略引入到延保价格模型中,考虑PM实施区间和顾客使用率的差异性,从交易双方的角度构建延长质保成本模型,采用网格搜索法分析不同PM方案对延长医保价格的影响,并提出定制化的延长质保定价机制。

1 模型构建

假设制造商向顾客提供免费的BW服务,BW区间为Ωb=(t,u),t∈[0,Wb],u∈[0,Ub],其中Wb和Ub分别为BW的时间期限和使用量期限。BW结束后,顾客可以支付额外费用购买EW合同,EW区间为Ωe=(t,u),t∈[Wb,Wb+We],u∈[Ub,Ub+Ue],We和Ue分别为EW的时间范围和使用量范围。设质保期内产品发生的故障均采用最小维修方式加以修复,维修时间忽略不计。为改善产品性能,制造商实施一系列二维PM措施(每K个时间间隔或每L个使用量间隔实施一次PM,以先到者为准),如图1所示。

制造商承担质保期内产品发生故障的修复成本以及PM的投入成本,并以此确定延保的最低售价,消费者在EW的潜在维修费用界定了延保的最高价格。本文的主要目的是分析不同PM方案以及消费者使用率对延长质保价格的影响并探讨定制化的PM策略和延保价格机制。

1.1 产品故障建模

随着使用时间、使用量(里程、次数等)的增加,机电产品的老化现象逐渐加深。为了解产品的退化性能,需要对其故障过程进行建模和分析。常用的二维质保故障建模方法包括:两变量法、复合尺度法和使用率法[13]。由于使用率法能较好地反映时间和使用量对产品故障率的影响,故本文采用使用率法。令t=0表示产品开始使用的时刻,T(t)和U(t)分别表示产品在时间t时的累积使用时间和累积使用量。假定产品在[0,t)区间内没有发生故障或发生的故障都得到修复且修复时间可以忽略,则T(t)=t。使用率法假定U(t)和T(t)之间存在一个非负系数R的线性关系。以R表示产品的使用率,R=U(t)/T(t)=U(t)/t。不同用户的使用率具有差异,但同一用户的使用率保持恒定,并且单个产品在整个质保期内的使用率也是不变的。因此,可以认为使用率R是一个非负的随机变量,并服从函数G(r)=P{R≤r},0≤r<∞。假设对发生故障的产品都采取最小维修方式,则产品故障服从故障率为λ(t|r)的非齐次泊松过程。为方便案例研究,本文采用文献[12-13]中的条件故障率函数来描述使用时间、顾客使用率(使用量与使用时间的比值)对产品性能退化的影响。其表达式如下

(1)

式中,θ0,θ1,θ2,θ3均为非负常数系数。

1.2 不完全PM建模

PM可以减少产品的故障次数,改变设备的故障率。本文采用文献[8]的年龄回溯模型来描述PM的实施效果。实施PM能够减少产品的虚拟年龄,减少量取决于PM的水平m,m∈[0,∞]且为整数,PM的效果随着m的增加而增大。假定在质保期内的离散时刻(π1,π2,…,πj)实施PM,令π=0表示产品开始使用的时刻,此时v0=0,令vj-1表示实施第(j-1)次PM活动后产品的虚拟年龄,j≥2。则第j次PM活动实施前产品的虚拟年龄为vj=vj-1+(πj-πj-1)。若PM水平为m,则第j次PM活动后产品的虚拟年龄为vj=vj-1+δ(m)(πj-πj-1)。δ(m)为PM的年龄递减因子,0≤δ(m)≤1。δ(m)是m的递减函数,δ(0)=1,δ(∞)=0。如果m=0,则PM没有对产品故障率造成影响,产品修旧如旧,存在vj=πj,j≥2;如果实施最大水平的PM,则产品相当于修复如新。多数情况下,m介于0与∞之间,即实施不完全PM活动,导致产品的故障率介于修旧如旧与修复如新之间的状态。本文采用指数型递减函数来描述δ(m)与m之间的关系，即δ(m)=(1+m)e-m。

2 模型的建立

站在制造商的角度,总质保成本包括最小维修成本和PM成本。令Cm和Cp分别表示单次最小维修成本和单次PM成本,E[C(K,L,m)]表示制造商在EW内的期望质保成本,其中K和L分别为PM活动的时间间隔和使用量间隔,m为PM实施的水平。考虑到不同顾客使用率具有差异性,其质保期结束的时刻也不一致。给定一类消费者的使用率为r,则其产品在BW和EW结束时的时间分别为:

(2)

(3)

于是,EW的实际长度为

(4)

在BW和EW内,基于时间维度下二维PM的间隔期分别为:

(5)

(6)

设质保期内PM的水平m保持不变,则实施第j次PM活动后,产品的虚拟年龄为

(7)

2.1 刚性延保价格模型

基于以上描述,分别从制造商和顾客的角度,给出4种PM方案下延长质保的价格模型。分别令Pl,i和Pu,i表示制造商制定的最低延保价格和最高延保价格,i=1,2,3,4,对应4种PM方案。从数值上看,Pl,i相当于EW内实现最优PM策略时的延长质保成本,而Pu,i根据EW内没有实施PM活动时的延长质保成本来确定。

Case 1 整个质保期内没有PM活动。令产品在延长质保期间的期望故障数为Ne,有

(8)

由于此方案下产品发生自然状态下的退化现象,所以针对所有顾客,延保价格为

(9)

Case 2 在[0,Wb+We]期间实施二维PM措施,该策略下产品性能得到持续改善。

假定制造商实现最小质保服务成本时,PM的时间间隔和使用度间隔分别为(K*,L*),实施次数为n*。令nb*表示在(K*,L*)策略下,BW期间实施的PM次数。于是制造商在EW的质保服务成本为

(10)

延长质保的价格为:

Case 3 只在[0,Wb]实施PM活动。该方案导致产品以较低的故障率进入EW。

对于平均使用率r,制造商的延长质保服务成本为

(13)

由于EW期间没有PM活动,所以延保价格为

(14)

Case 4 只在延长质保期间实施PM项目。平均使用率r下,制造商承担的延长质保成本为

(15)

延长质保价格为:

2.2 定制化延保价格模型

将顾客进行分类并提供相应的质保服务,是定制化质保合同的有效做法。本文将使用率最低的25%顾客定义为低使用率群体,使用率最高的25%顾客定义为高使用率群体,其余50%顾客为中使用率群体。根据该分类方法,延保最低售价可以调整为如下形式:

于是,根据EW期顾客支付的最大潜在维修费用,延长质保的最高价格分别为:

上标l,m和h分别对应低、中和高使用率顾客,Nil,Nim和Nih分别表示定制化方案下3类顾客的产品在EW内的期望故障次数。

3 案例分析

本节以某汽车零部件为例,验证模型的有效性。假定产品出售时附带二维质保合同,顾客面临购买EW的决策问题。设Wb=3 a,Ub=3×104km,We=3 a,Ue=3×104km;λ(t|r)的参数设置为θ0=0.1,θ1=0.2,θ2=0.7,θ3=0.7,与文献[12]的数据相同。假设消费者的使用率r服从均匀分布,其概率密度函数为g(r)=1/(rmax-rmin),rmin≤r≤rmax。参考Huang等[14]模型中的数值,本文取rmin=0.2×104km/a,rmax=3.4×104km/a,并令rl=1.0×104km/a和rh=2.6×104km/a分别表示g(r)的第1个和第3个四分位点。令Cm=250元,表1给出了不同PM水平下δ(m)和Cp的取值,与文献[8]的参数一致。可以看到,随着m的增大,年龄递减因子变小,同时所投入的PM费用升高。

表1 PM的相关参数

工程实际中,预防性维修活动的实施通常是离散性的。本文利用MATLAB对模型进行求解,以得到最优的PM策略及相应的质保成本。为符合PM的可操作性,案例中K和L的搜索步长分别设置为1个月和1 000 km。

3.1 刚性PM策略和延保价格

表2给出不同PM水平取值下相对应的PM策略及延长质保价格。图2显示了延长质保价格的取值范围。表2中K*,L*分别表示给定PM水平下,制造商实现最低质保服务成本时,实施PM措施的时间间隔和使用量间隔;价格区间[Pl,Pu]中,Pl表示制造商制定的最低延长质保售价,Pu表示顾客愿意支付的最高延保价格。考虑制造商的盈利水平和顾客的支付意愿,价格区间的中间值是双方总体满意度最大的选择。例如m=1时的Case 2,延长质保价格区间为[2 014,2 165]元,平均价格P=(Pl+Pu)/2=2 090元。令Pr(Pr=Pu-Pl)表示每个Case中延长质保售价的范围,显然Pr越大,双方的选择范围越大,制造商的利润空间和顾客承担维修费用的灵活性越大,满足双方需求的可行解越丰富,如图3所示。

表2 面向所有顾客的PM策略和延保价格

图2 4种PM方案下的延保价格

PM水平mCase 1Case 2Case 3Case 4[Pl,Pu]K∗L∗[Pl,Pu]K∗L∗[Pl,Pu]K∗L∗[Pl,Pu]012345[309, 309][309, 309][309, 309][309, 309]510[175, 276]511[275, 275]511[298, 309]612[124, 225]511[232, 232]511[289, 309]715[137, 238]715[238, 238]715[288, 309]715[143, 228]715[228, 228]715[294, 309]1020[165, 196]715[224, 224]715[306, 309]

图3 不同PM方案下的延保价格范围

根据上述结果,可以得到以下结论:

1) Case 1和Case 3中,EW期没有PM活动,所以Pl=Pu,如图2a)和图2c)所示。2 252元是Case 1的平衡点,延保价格高于2252元,顾客购买EW的意愿将会降低;而低于2250元,制造商则没有质保收益。在Case 3中,BW实施了PM措施,产品以较低的故障率进入EW期,延保价格低于Case 1。

2) Case 2中,Pr随着m的增加而增大,如图3所示。二维PM策略存在一个现象:当m=4时,制造商的质保费用最低为921元,如图2b)所示,此时PM的间隔期为9个月或1.5×104km。原因在于m≥4时,δ(m)逐渐变小,但是单次PM费用却急速增加。

3) 不同方案中,最优PM策略也具有差异性(Case 2中m=4,间隔期为9个月或1.5×104km,该方案的Pr也更大,如图3所示;而Case 3和Case 4中m=3,间隔期为9个月或1.1×104km)。部分原因是BW和EW期内分别单独实施PM措施时,PM的间隔期相对小,造成的虚拟年龄减少量也较少,导致产品的故障率和质保成本下降的少。

3.2 定制化延保价格策略

实际中,顾客之间的产品使用模式具有差异性,导致产品呈现出不同的退化规律。因此,基于使用率将顾客进行分类,制定与使用模式相适应的PM方案和延保价格机制会更符合工程实际需求,也可以为不同顾客提供更多选择柔性质保策略的机会。

表4 中使用率顾客的PM策略和延保价格

表5 低使用率顾客的PM策略和延保价格

表3～5分别给出了3类使用率顾客的最优PM策略和延保价格。据此可以得出以下结论:

1) 针对Pl与Pu的值,高使用率顾客最小,中使用率最大,低使用率介于两者之间,如表3～5所示。这是由于:高使用率顾客在很短时间内便结束了质保期,产品发生故障的维修费用最少;质保结束时低使用率顾客的使用量远低于使用度期限(U),说明产品的使用频次比较低,维修费用也较少;中使用率顾客的使用时间和使用量都很接近2个维度的期限(W和U),产品的使用频次和使用时间都很高,因此产品在2个维度上将会发生严重的退化现象。

2) 在Case 2、Case 3和Case 4中,随着m的增加,二维PM的间隔期逐渐变大。说明PM的投入程度越大,相应的实施频次越低,以缓解投入过高的PM成本。

3) 顾客使用模式的差异性导致相应的PM策略也随之改变。以Case 2为例,对于高使用率顾客,当m=2、间隔期为6个月或1.2×104km时,制造商的质保成本最小,Pr也最大;而针对中、低使用率顾客,m=4时,制造商的质保成本最少,PM的间隔期分别为10个月或1.2×104km、12个月或1.0×104km。说明顾客的使用率越高,PM的实施频次也相应提高,以减缓产品过高的故障率。

4 结 论

本文在二维质保框架下,针对免费维修质保合同内随机失效的产品,研究延长质保的定价问题。为反映使用时间和使用量对产品退化性能的影响,引入二维PM策略。通过构建EW的成本模型,分析不同PM方案对延保价格的影响,并提出定制化的延保价格机制。根据案例分析,得出如下结论:①在BW和EW期内实施统一的PM措施,制造商会获得更高的延保收益,顾客也能够体验较高的产品性能;②为不同使用强度的顾客提供定制化的延长质保价格和PM策略更加符合实际需求。后续研究可以采用按比例分摊质保、可更新免费更换质保等策略。此外，考虑多种维修方式的组合、顾客的风险偏好、环境变量以及不同分布的用户使用率等因素,也可以丰富柔性质保定价问题,得到更加符合工程实际的质保策略。