测定弹性模量时数据处理方法比较

张 攀，张选利，袁向丽，刘文秀

(青岛科技大学 机电工程学院，山东 青岛 266069)

弹性模量(Elasticity Modulus,常简写为E)是表征固体材料抵抗变形的重要物理常数。测量弹性模量是材料力学实验教学中的重要内容之一。目前，实验教学过程中主要通过拉伸法来测量E，并采用增量法获得等载荷增量F作用下，产生的应变增量△εi,从而可以验证胡克定理并计算弹性模量[1-3]。

用增量法测量时，大多数文献采用平均应变增量计算E[2-3]。这种处理方式在本质上会抹掉了中间测量数据，而仅使用了第一和最后一位数据，在一定程度上会导致较大的测量误差。本文对实验测定低碳钢的弹性模量过程中几种常用的处理方法进行对比分析，并就处理实验数据的方法给出一点建议。

1 平均应变增量法

采用增量法，即逐级加载(如图1所示)，可以测量在各次载荷增量Fi作用下，产生的应变增量△εi。材料在比例极限内服从虎克定律，应力与应变成线性关系，有:

(1)

当载荷增量相同时，理论上各级应变增量也应相同，文献[2-3]采用平均应变增量计算材料弹性模量

(2)

(3)

图1 增量法示意图

从式(3)可以看出，平均应变增量计算得到的弹性模量仅与第1点和第N点的应力、应变有关，即弹性模量为图1中直线1的斜率，而与过程中的其它数据点没有关系，使得增量法在测量E时失去应有的价值。而且由于使用数据少，会导致测量误差大。

2 其它处理方法

文献中，还有采用算术平均法，即根据每级载荷得到的Ei计算材料弹性模量[1]，计算式如下：

(4)

从式(4)看到，从几何学角度，算术平均法的实质是用各段直线斜率的平均值计算E，难以解释其几何意义。

利用数值分析中的最小二乘法原理可以将测量的应力与应变数据拟合成直线。根据最小二乘原理[4]，弹性模量的表达式为式(5)：

(5)

最小二乘法采用了所有测量点数据进行直线拟合，该直线的斜率即为弹性模量，其物理意义和几何意义明确，并且该直线与实验测定的数据点的误差的平方和也最小。

在数值分析中，还有采用均方根的平均方法，其计算方法是先平方、再平均、然后开方，计算式如式(6)：

(6)

在物理意义上，均方根平均有表达力的功的含义。

3 各种计算方法的结果比较

将实验中用电测法采集到的低碳钢拉伸时的数据和采用不同方法计算弹性模量得到的结果，分别列于表1和表2。图2也表达了平均应变增量法和最小二乘拟合的应力-应变关系曲线。

表1 实验记录数据(低碳钢，截面积A=445.30mm2)

表2 各种计算的误差比较

从表2可以看到，当以最小二乘法拟合计算的弹性模量为基准时，各种计算方法给出的E值的相对误差并不大。但是从计算结果的物理和几何意义的角度看，采用最小二乘法拟合是恰当的。

图2 各种计算方法拟合的应力-应变关系图

4 结语

与平均应变增量法、算术平均法等方法计算低碳钢的弹性模量相比，采用最小二乘法拟合虽然需要更多的数学知识，或数学软件来帮助处理实验数据，但是，最小二乘法拟合在物理和几何意义上更明确。因此，最小二乘法拟合更合适用于测量低碳钢的弹性模量时的数据处理，而且有利于培养学生的数据处理能力和严谨的科学态度。