对于水滴形状的力学分析

董昊呈

摘 要：本文通过能量分析和受力分析两个角度研究了水滴的形状。从能量上说，越小的水滴形状越接近于球，越大的水滴形状越接近于扁平，这和日常生活中的观察结果是相符合的。从受力平衡的角度出发，可以写出来水滴的形状所满足的方程，通过该方程分析得到失重条件下水滴为球形，重力影响非常大时水珠接近于圆柱形，这和能量分析的结果相互补充解释了水滴静力学的相关现象。

关键词：表面张力;表面能;压力;水滴

中图分类号：O352 文献标识码：A 文章编号：1671-2064（2019）06-0240-02

0 引言

生活中，我们经常能在很多地方看到各种形状的水滴，例如早晨的露珠，荷叶上的水珠，通过观察生活中的这些水滴，可以看出经常是小水滴（例如露珠以及荷叶上的小水珠，尺寸在1mm左右）更像球形，而大水滴（例如荷叶上的大水珠，尺寸在10mm左右）偏向扁平，宇航员在太空中做的试验中，悬浮在飞船中的失重的水滴是一个标准的球形。水滴的形状为什么会呈现出这种现象，和哪些因素有关，又满足什么样的力学关系。本文将从能量和静力学两个角度出发进行分析。

1 水滴的形状与能量的关系

1.1 液体的表面张力和表面能

处于液体表面的分子与内部的分子有所不同，它们将受到不平衡的分子力，体现为一个内向的吸引力。这样宏观上看液体的表面就有收缩的趋势，体现为液体的表面张力。由于有表面张力的存在，可以推出液体表面其实是储存有一定能量的，这种能量被称为表面能。表面能的大小和液体本身的性质（也就是液体分子的作用力）有关，也与液体的表面积有关。液体表面能的公式为[1]：E=σS，其中，σ为表面张力系数，S为表面积。表面张力可以根据表面能的变化，利用功能关系推出。表面处的任意两部分液体之间存在着相互吸引的力，大小为σl，其中l为两部分液体的接触线长度。

1.2 利用表面能定性解释水滴形状的成因

自然状态下，物体的能量越低越稳定，所以物体总是趋于向能量最低的方向变化或保持能量最低的状态来使自身尽量稳定，利用这个原理，我们就可以解释为什么小水滴形状偏向球形，而大水滴偏向扁平[2]。为了简化问题，对于一个静止的水滴，我们仅考虑它的重力势能和表面能。考虑水平面上的水，若只考虑重力势能，则水必然摊开在水平面上，若只考虑表面能的影响，在同样体积下，球的表面积最小，此时表面能最小，水滴应保持球形，这两个因素共同决定了水滴的形状。对于静止在平面上的水滴，可以先简单按照球形形状估算重力势能和表面能的量级：

EG=ρπR3gR，ES=4πσR2                   （1）

两者之间的相对大小为=。当1时，表面能对于总能量的贡献远大于重力势能，此时可以忽略重力势能的影响，因此小水滴倾向于形成球形，代入σ=7.2×10-2 N/m，ρ=103kg/m3，g=9.8m/s2可得此时R≈5mm，因此這些小水滴的半径通常远小于5mm，这也和日常生活经验相符。当≈1，也即R≈5mm时，重力势能的影响开始显现，因此水滴偏离球形开始变得扁平以降低重力势能。当1时，重力势能对于总能量的贡献远大于表面能，因此很大的水滴倾向于形成非常扁平的形状[3]。

4 结语

本文首先从能量的观点出发，利用表面能和重力势能相互竞争的机制解释了小水滴接近球形，大水滴接近扁平的生活现象，其次通过受力分析得到了水滴的纵截面满足的方程，通过分析该方程得到失重条件下水滴为球形，重力影响很小时，水滴接近于球形，重力影响很大时，水滴接近于圆柱形。通过这些分析我们解释了生活中的现象，这体现了物理学在日常生活中的应用。

参考文献

[1] 赵凯华，罗蔚茵.新概念物理教程：力学（第二版）[M].高等教育出版社，2004.

[2] 于凤军.带电液滴的稳定性和临界电荷问题[J].大学物理，2018，37（7）：8-10.

[3] 苑志江，蒋晓刚，张志友，金良安.基于气泡运动的液体表面张力系数测量方法研究[J].中国测试，2018，44（12）：46-50.