丢番图巧用“平方差公式”

唐荣喜

丢番图是古希腊的重要学者和数学家，是代数学的创始人之一，对算术理论有着深入的研究。丢番图所著的《算术》完全脱离了几何形式，在希腊数学中独树一帜。《算术》是一本划时代的著作，它在历史上影响之大，可以和欧几里得的《几何原本》相媲美。

《算术》从纯分析的角度处理数论问题，这是希腊算术与代数的较高境界。丢番图的《算术》是研究数论的，它讨论了一次、二次以及个别的三次方程，還有大量的不定方程。现在对于具有整数系数的不定方程，如果只考虑其整数解，这类方程就叫做“丢番图方程”，它是数论的一个分支。但丢番图并不要求解是正整数，而是要求解为正有理数。丢番图在《算术》中已经有意识地运用“平方差公式”解决相关的二次方程和不定方程问题，下面举例加以说明。

1.已知两数之和（差）与积，求这两个数。

公元3世纪，丢番图在其《算术》第1卷第27题中，运用古巴比伦人的“和差术”，通过“平方差公式”来解答这个问题。

假如已知两数之和为20、积为96，求这两个数。其解法用我们现在的数学语言叙述为：假设所求两数分别为10+x和10-x，则（10+x）·（10-x）=96，根据“平方差公式”得100-x2=96，故x2=4，从而求得x=2（当时人们认识的数还仅限于正有理数）。于是，所求两数分别为10+2和10-2，即12和8。

类似地，假如已知两数之差为8、积为65，求这两个数。其解题方法与上述方法相同，假设所求两数分别为x+4和x-4，则（x+4）（x-4）=65，根据“平方差公式”得x2-16=65，故x2=81，从而求得x=9。于是，所求两数分别为9+4和9-4，即13和5。

2.两个已知数各加上同一个数，使所得的和均为平方数，求所加的数是多少。

丢番图运用“平方差公式”解决上述不定方程问题，在其《算术》第2卷第11题中对此类问题给出了详尽的解答。

其解法用我们现在的数学语言叙述为：假如已知两数为13和24，把13和24分别加上同一个数，使所得的和均为平方数，求所加的数是多少。假设所加的数为x，不妨设13+x=a2①，24+x=b2②，②-①得b2-a2=11。根据“平方差公式”得（b+a）（b-a）=11，如果取b+a=11，b-a=1，由此解得b=6，a=5，将a=5代入①，从而求得x=12，故所加的数可以是12，至此得到问题的一个解。

乘法公式主要用于乘法运算和因式分解，而今天所呈现的简洁形式则应归功于数学符号化的进程，直到公元16世纪，法国数学家韦达用字母表示“平方差公式”时，它的对称美和简洁美才呈现在我们面前。虽然古人没有能用今天这么简洁的形式来表示“平方差公式”，但这并没有影响古人对“平方差公式”结构和算理上的认识。事实上，早在数学符号引进之前的大约1300年间，数学家们就已经发现了一些整式乘法的运算规律，并在具体问题解决中加以广泛的应用。

（作者单位：江苏省无锡市新区第一实验学校）