GARCH模型控制图的构造与应用

2019-05-05刘晓华

统计与决策 2019年7期

刘晓华

（山东工商学院统计学院，山东烟台 264005）

0 引言

将统计过程控制应用于金融领域是最近二十年才开始的工作，从国内外研究成果可以看出，将统计过程控制用于金融风险管理的理论研究还不完善，需要对模型进行改进。本文在传统控制图的基础上，针对金融序列中出现的自相关和异方差性，用自回归模型AR提取相关性，用条件异方差模型GARCH提取异方差性，再对残差建立控制图，并利用沪深300指数进行了实证分析，结果表明残差控制图可以很好的监控金融风险。

1 控制图相关理论

1924年休哈特首先提出了控制图的理论，此后控制图的相关理论广泛应用于质量管理相关领域，并在实际应用过程中，根据各种可能的情况，出现了相应的修正控制图。控制图主要由三条标志线构成，最上面的是上控制限（UCL），最下面的是下控制限（LCL），中间的为中心线（CL），其中上限控制限的确定依据小概率事件原理。

以正态分布N(μ，σ2)为例，根据分布性质可知P(|X-μ|≥3σ)=0.0026，也就是说样本数据落在μ±3σ外的概率很小，在3‰以下，是一个小概率事件。由此确定控制限分别为：

在控制图中，如果过程运行正常，则点会落在上下控制限内。而如果点一旦落在上下控制限之外，则根据小概率事件原理，小概率事件一旦出现，则意味着系统出现异常，需要进行调整。

在通过控制图对质量过程进行监测的过程中，主要有两类错误：第一类错误是实际过程未发生异常，但是点落在了控制限外，根据控制图判定过程异常，犯了弃真的错误，犯第一类错误的概率一般用α表示。第二类错误是实际过程已经发生异常，但是点落在了控制限内，但是根据控制图判定为过程正常，犯了取伪的错误，犯第二类错误的概率用β表示。犯这两类错误的概率不同时最小，此消彼长。在控制图设计时，应尽量使得犯这两类错误造成的总损失最小。

常规控制图在设计过程中通常假定独立同分布，但实际的质量过程经常出现一定的自相关性，对此常用的改进方法主要有两种：

第一种方法是调整常规控制图的控制限，通过改进方差的估计来对控制限进行调整。

第二种方法是对残差建立控制图，首先对数据建立合适的时间序列模型提取序列中的自相关性，再构造残差序列，拟合后的残差值通常满足独立同分布，符合常规控制图的假定，由此构造残差控制图进行控制。

2 自回归模型AR的设计

自回归模型AR是用变量自身的滞后项为自变量进行回归，p阶自回归记为AR（p），其模型形式如下：

模型有三个限制条件，条件一：φp≠0保证了模型的最高阶是p；条件二：E(εt)=0,Var(εt)=σ2ε，E(εtεs)=0，s≠t则要求随机干扰序列是零均值的白噪声过程；条件三：Exsεt=0，∀s＜t，则说明当前的随机干扰与过去的序列无关。

在AR（p）序列中，通常要求过程平稳，需要满足的条件为模型对应的特征方程对应的特征根都在单位圆内。

以AR（1）为例介绍AR模型残差控制图的构造。

3 条件异方差模型GARCH控制图的设计

在金融时间序列分析中，数据经常表现某一特征的值成群出现的情况，即波动的集群性。在进行分析时，数据同时表现为自相关和异方差，此时需要使用自回归条件异常差模型，即ARCH模型。ARCH（q）模型形式如下：

ARCH模型实际上使用残差平方序列的q阶移动平均拟合当期异方差，由于移动平均MA模型的自相关系数q阶之后截尾，所以ARCH模型只适用于具有短期相关性的异方差函数。但在实际中，残差序列的异方差函数可能具有长期相关，此时如果使用ARCH模型拟合异方差，将产生很高的移动平均阶数，造成参数估计的难度增加和模型的拟合精度受影响。

为了修正这个问题，Billerslov在1985年提出了广义自回归条件异方差模型（GARCH），模型GARCH(p，q)形式如下：

条件1：参数非负，即ω＞0，ηi≥0，λj≥0。

假设{xt}同时存在自相关性和异方差性，其表达式为xt=mt+ηt=E(xt|xt-1,…)+ηt。其中，mt为在给定t时刻之前信息的条件下xt的条件均值，ηt为相互独立的扰动项，因为xt存在序列相关性，可以用AR模型进行拟合，此时，则残差序列为εt=xt。其中为参数的估计值为条件均值的估计值。

此时υt～N(0，1)，则有εt～N(0，ht)，又因为，则，则在置信水平在99.73%下，有，因此基于序列{}xt的控制图，其控制限为：

因为，ht随着时间t而不断改变，所有中心线和上下控制限都会波动，这三条控制限的变动会使得对异常值的判断带来困难，因此可以对残差进行控制。在中进行变形得到，也就是说，在时刻t，残差εt落在中的概率为99.73%，按照小概率事件原理，如果点落在在外，可以判断为异常点。这样对序列{xt}的监控可以转化为对残差序列{εt}的监控，即为残差控制图，其控制限为：

在残差控制图中，中心限为直线，只有上下控制限是变动的，相对于之前的控制限式（6）有了很大改善，在使用过程中也很方便。

4 实证分析

本文以沪深300综合指数进行实证分析，样本时间为2005年1月4日至2017年10月13日，除去节假日，共3104个样本数据，数据来源于同花顺软件。在对股指进行数据分析中，人们一般关心收益率的波动，首先将原始数据通过rt=ln(Pt)-ln(Pt-1)转换为对数收益率，其中rt为第t天的对数收益率，Pt为第t日的沪深300指数日收盘价。

对对数收益率rt的序列进行分析，时序图如下页图1所示。

图1 对数收益序列rt时序图

图2 对数收益率序列rt描述统计图

从图1中可以看出，数据表现出在一定的时间段内（如1500～2000）波动比较小，但是在有的时间段（500～1000和2300～2700）波动很大，存在明显的集聚效应。由图2的直方图和描述性统计分析可以看出：数据SK=-0.52＜0，分布时左偏的，峰度系数KU=6.667，高于正态分布的峰度3，收益率序列是尖峰分布。因此收益率序列同时具有尖峰和厚尾的特征，这也是一般收益率序列的特征。

4.1 GARCH模型的建立

首先需要对数据进行平稳性检验，ADF检验的结果t统计值值为-54，小于0.01水平下的临界值-3.43，对应的p值为0.0001，拒绝存在单位根的原假设，数据平稳。接下来根据自相关图建立相关回归模型。

图3 对数收益率序列的自相关图

由图3序列的自相关图可以看出，序列存在明显的自相关，但是自相关的阶数不易确定，通过尝试，最终通过系数显著性检验的模型见表1。

表1 AR模型估计结果

由此确定的表达式为rt=0.0658rt-4-0.0586rt-6+εt。

接下来对残差进行分析，通过图4可以看出，残差波动具有明显的集群效应，进一步对残差进行ARCH-LM检验，F统计量为39.46，对应的p值为0，拒绝原假设“ARCH模型残差不存在异方差性”，说明收益率序列存在明显的异方差性，需要建立条件异方差模型。

图4 残差平方自相关图

对残差建立GARCH（1,1），输出结果，AR(4)系数的显著性检验对应的p值为0.2325，未通过检验，剔除重新建立模型，参数估计的结果如表2所示。

表2 GARCH模型估计结果

进一步构造GARCH（1,2）和GARCH（2,1），对信息量进行对比，GARCH（1,1）最优。故最终模型为：

模型系数都大于0，且0.053272+0.907399＜1，满足约束条件。

对残差再做ARCH-LM检验，对应的F统计量为1.0341，p值为0.3，序列不存在异方差，自相关检验的结果，序列不存在自相关性，即残差序列相互独立和等方差，满足控制图的假定。

4.2 残差控制图的建立

残差满足独立性和等方差性，符合控制图的要求，对残差按照式（7）构造控制图，如下页图5所示。

从图5看出，在500～1000（对应时间为2007—2008年）之间和2500～2700（对应时间为2015—2016年）之间的点出界的比较多，主要原因在于这两个时间段中国股市经历了大起大落，在控制图中这两个时间段超出控制限的点最多。假定定义|rt|≥0.05为异常点，在用残差GARCH控制图进行分析，判定的情况如表3所示。