线性回归模型初探

2019-04-29莫文明

课程教育研究·学法教法研究 2019年7期

莫文明

【中图分类号】F224 【文献标识码】A

【文章编号】2095-3089（2019）07-0274-02

《普通高中数学课程标准（实验）》第二部分“课程目标”中明确规定了高中数学课程的总体目标，并将目标分解为三个方面：知识与技能，过程与方法，情感态度与价值观，明确规定了以“经历”、“模仿”、“发现”、“探索”为标志的过程性目标.

数学课程改革至今，数学的应用性及其与生活的紧密联系受到各方面关注与重视，数学模型正慢慢地从大学进入中学课堂.在现实世界中，不少变量之间是存在着一定关系，一般说来，这种关系大体上可以分为两类，一类是确定性的，即函数关系.例如，线性函数、指数函数、对数函数等.另一类是非确定性的，这类变量之间虽有一定的关系却又并不完全确定.例如，人的血压与年龄关系.农作物产量与施肥量有关……这些变量虽有一定联系，但却不能用普通函数关系来表达.事实上，这些变量是随机变量或其中至少有其中一个是随机变量.这种非确定性的关系称为相关关系.

回归分析正是研究相关关系的一种数学工具，是数理统计学中最常用的统计方法之一.在生产实践、资金预测和科学研究中有着广泛的应用，具有很强的现实意义.研究方法：教材介绍“最小二乘法”的思想方法，并用“可以推得”的几个字越过了推导过程，直接给出了

现实教学中，有部分学生对这公式表现得很困惑，迫切的希望知道的求法，再加上此思想方法有是回归分析方程形成的理论柱石.现给出推导过程，意在推导过程中让学生加深对公式的记忆和理解.推导过程如下：

用最小二乘法使函数

分别将a，b看成未知数，求导数，令导数为0得

由方程解得：

教材中给出的a，b公式比较复杂，学生不便记忆.在教学中发现， a，b的数值也可以通过下面方程组得到

上面的方程组可以这样来记忆，设想Y=bX+a 有n个值相加，得到方程组的第一个方程；在直线方程Y=bX+a两边同乘X在设想n个数值相加，并得到了方程中第二个方程.

比如，根据以下资料求回归方程

根据资料计算整理得出下列计算表中数据

将表中数据代入：

也可以这样解：

得a和b的值

解得：b=36，a=372

虽然我们可以利用信息技术很容易处理相关数据，但为了让学生体验知识的形成过程，笔者认为这样的运算很有好处，也不失为一者好方法.

人教版《数学3》利用回归分析的方法对两个具有线性相关关系的变量进行了研究，其步骤是画出两个变量的散点图，求回归直线方程，并用回归直接方程进行预报.可见，学习统计，重在应用.有个形象的比喻，统计是以数字为食物的动物（Grass-Cow-Milk）.统计的本业是消化数据，并产生有营养的结果.它的本质和母牛相差不多（Data-Statistics-Information）

至此，我们已经顺利的经历了从现实世界到数学世界的过程，而数学模型所不同于常规习题，再从数学世界返回现实世界的过程需要学生再次体验.

从数学世界返回现实世界，要求学生，根据具体的现实情景解读并检验数学解答，获得现实结果，检验现實结果的有效性，并反馈给现实情景.

因此审视和检验自己的数学模型，变得非常重要，用什么标准来检验模型呢？教材给出相关指数R2和残差分析工具.它们的作用：R2越大-残差平方和越小-模型的拟合效果越好.反之相反.附：残差平方和=，

通过中学教材的研读，笔者认为还有下列问题值得思考.

（1）回归方程中解释变量x和预报变量y 的关系，即有数据组x为解释变量，y为预报变量的线性回归方程y=bx+a；又应该有y为解释变量，x为预报变量的线性回归方程x=b′y+a.

（2）相关系数与回归方程系数的关系

这比较容易看出系数与b相关系数

的关系

若回归系数b>0，则两组数据相关系数，若回归系数r>0，则回归系数b<0，则两组数据相关系数，则回归系数r<0；两组数据的相关系数之间满足bb′=r2

（3）相关系数与回归方程系数功能差异思考.

相关系数具有对称性质，即相关系数与x，y两者中哪一方为预报变量无关，而回归方程与x，y两者中哪一方是解释变量有关.

基于上面的思考，结合高等数学数理统计的相关知识，由浅入深地将数学建模带进中学课堂，沟通学生的现实世界与数学世界。掌握方法，勤于思考，从多角度发现回归分析对现实生活的统计意义.