行为负相协随机变量阵列加权和的矩完全收敛性

2019-04-28郭明乐刘锦然

安庆师范大学学报(自然科学版) 2019年1期

关键词：有界马尔科夫收敛性

郭明乐，刘锦然

(安徽师范大学数学计算机科学学院，安徽芜湖241003)

Hsu和Robbins及Cai研究NA(Negatively Associated)随机变量加权和的完全收敛并得到了如下结论[1-2]后，人们对完全收敛性的关注越来越多。

定理1 设{X,Xn,n≥1}是同分布的NA随机变量序列，{αni,1≤i≤n,n≥1}是实数阵列，对某个0＜α≤2满足

设bn=n1α(log n)1γ，这里γ ＞ 0，当1＜ α ≤ 2时，EX=0。若对某h ＞ 0，有Eexp(h|X|γ)＜ ∞，则任意ε＞ 0，有

Sung[3]弱化一些矩的条件，从而改进了定理1，得到如下定理。

定理2设{X,Xn,n≥1}是同分布的NA随机变量序列，{αnιi,1≤i≤n,n≥1}是常数阵列对某个0＜α ≤ 2满足(1)式。设bn=n1α(log n)1γ，这里γ ＞ 0，当1＜ α≤ 2时，EX=0。若则(2)式成立。

设{Xn,n≥ 1}是一随机变量序列且an＞0，bn＞0，q＞0。若对任意ε＞0，有

其中x+=max(0,x)，(x)=(x+)q。这是Chow在文献[4]中给出的矩完全收敛的概念，显然矩完全收敛性蕴含完全收敛性。

本文在相同的条件下深化定理2，从完全收敛性进一步研究矩完全收敛并得到更好的结论，且本文运用不同于Sung[3]所用的方法使得证明过程简化。下面先介绍文章中出现的记号，在不同的地方正数C表示不同的值；log x=lnmax(e,x)，e为自然常数；I(A)表示A的示性函数；an＜＜bn表示存在常数C＞0，使得对足够大的n,有an≤Cbn。称随机变量阵列{Xni,i≥1,n≥1}尾概率有界于随机变量X，若存在一个正数C，对任意x≥ 0，i≥ 1和n≥ 1使得P(|Xni|＞ x)≤ CP(|X|＞ x)。

下面的引理给出了尾概率有界的随机变量阵列的矩不等式，这些不等式是由Adler等[5-6]创建的。

引理1设{Xn,n≥1}尾概率有界于随机变量X，则对任意n≥1，p＞0，x＞0，

由Hoffmann-Jφrgensen型不等式，Marcinkiewicz-Zygmund型不等式和截尾的方法，文献[7]建立了行为NA随机变量阵列加权和的矩完全收敛性的充分条件，不同于文献[3]中运用引理[8]建立的行为NA随机变量阵列加权和的完全收敛性的充分条件，使得证明过程简化。

引理2设{Yni,1≤i≤kn,n≥1}是行为NA的随机变量阵列，{kn,n≥1}是正整数序列，{an,n≥1}是正数序列，满足q＞0且

(ii)存在0＜r≤2和s＞q/r，使得

引理3设X是一个随机变量，γ＞0，α＞0，则

证明注意到

利用Fubini定理可得

下面给出本文的主要结论。

定理3设{Xni,1≤i≤n,n≥1}是行为NA的随机变量阵列尾概率有界于随机变量X，{αni,1≤ i≤ n,n≥1}是常数阵列对某个0＜α≤ 2满足(1)式，令bn=n1α(log n)1γ，其中γ＞0。当1＜α≤ 2时，EXni=0，1≤ i≤ n，n≥ 1。若(3)式成立，则

证明不失一般性，可设ani＞ 0，1≤ i≤ n，n≥ 1(否则,可分别用和替代 ani，记 ani=-)。此处不同于文献[3]中分|ani|≤1或|ani|＞1两种情形考虑。在引理2中取an=1/n，kn=n，r=α，Yni=aniXni/bn，1≤ i≤ n，n≥ 1。由ani＞ 0可知{Ynι,1≤ i≤ n,n≥ 1}仍是行为NA的随机变量阵。由(1)式不妨设≤ n，注意到q≤ α，则通过引理1、引理3得