追本溯源，突破难点——二轮复习中的“一法”解“嵌套函数的零点问题”

安徽 张 威 乔天恩

高三二轮复习是承上启下的阶段，是促进知识系统化、条理化及灵活运用的关键时期，更是促进学生能力发展的关键时期.二轮复习主要是对各个专题知识进行系统整理，形成知识网络，完善认知结构，使学生掌握各个专题的主要应用题型，归纳总结解题规律与方法，查漏补缺，解决在各个专题中学生存在的疑难问题，运用所学知识对主要题型举一反三、延伸拓展，提高学生分析问题与解决问题的能力.教师需要选择合适的切入点，引导学生从“题海”中解脱.针对这种教学要求，教师可以采用“一题多解”与“多题一解”的教学方式，帮助学生逐步地提升思维能力,掌握解题技能.下面笔者通过“多题一解”的教学方式，来突破 “求函数f(g(x))或函数af2(x)+bf(x)+c的零点问题”这个难点.暂称这类函数为 “嵌套函数”. “嵌套函数”的零点问题是很多学生都难以跨越的“一道鸿沟”.那么该如何跨越这道“鸿沟”呢？具体如下.

一、典例分析——突破重难点

1.【命题维度分析】

【考点】本题考查分段函数、二次函数的图象和性质、函数的零点等知识.

【核心素养】本题考查逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象核心素养.

【数学能力】本题考查空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力.

2.【解题维度分析】

【思想方法】本题考查函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想.

【解题分析】本题已知函数解析式和函数零点个数，求解参数a的取值范围.求解函数零点的问题，有以下求解函数零点问题的几种基本原理：第一，通过直接解关于x的方程f(g(x))=0进行求解；第二，通过画出函数f(g(x))的图象，并判断该函数的图象与x轴的交点个数进行求解；第三，将方程f(g(x))=0构造成h(x)=u(x)形式，即转化为函数h(x),u(x)的图象交点个数进行求解；第四，利用零点存在性定理进行求解.而本题很难直接采用上述几种原理进行求解，原因是函数f(g(x))是一个“嵌套函数”，其解析式求解起来比较繁琐，同时该函数的图象不易得到.那么该如何解决这个“嵌套函数”呢？可以进行换元，令t=g(x)，设f(t)=0的实根为ti(i=1,2,…)，则“f(g(x))=0的实根个数”等价于“直线y=ti与函数g(x)的图象的交点个数”或“关于x的方程ti=g(x)的实根个数”.可以发现通过转化与化归后，原题就回归到熟知的函数零点问题的类型了.具体过程如下.

【解析】令t=g(x),则f(g(x))=0，即转化为f(t)=0,

先求f(t)=0,再解方程t=g(x)，得到的x即为函数f(g(x))的零点.

(Ⅰ)当t<0时，令ln(-t)=0，得t=-1，

①当a>1即-1>1-2a时，t=g(x)有2个实根；

②当a=1时，t=g(x)有1个实根；

③当a<1时，t=g(x)有0个实根；

此时t=g(x)有2个实根，结合①，可知y=f(g(x))有4个零点；

(2)当a=1时，t=0或2，则t=g(x)有4个实根，结合②，可知y=f(g(x))有5个零点，与题意不符；

【例2】已知函数f(x)=x2ex，若函数g(x)=f2(x)-kf(x)+1恰有4个零点，则实数k的取值范围是

( )

1.【命题维度分析】略

2.【解题维度分析】

【思想方法】略

【解题分析】本题看起来和例1是属于两种不同类型的函数零点问题，其实两个题如出一辙.只需要对原题进行稍许改变，即可转化为例1的形式.如下,

令h(x)=x2-kx+1，则函数g(x)=f2(x)-kf(x)+1恰有4个零点，即转化为函数h(f(x))恰有4个零点.此时即可利用例1的解题原理进行求解.具体过程如下,

令t=f(x)，因为关于t的方程t2-kt+1=0至多有2个实根,

①当Δ<0时，g(x)显然无零点，此时不满足条件；

②当Δ=0时，t2-kt+1=0有且只有一个实根,

由f(x)的图象可得t=f(x)至多有3个实根，所以g(x)至多有3个零点，故不满足条件；

③当Δ>0时，即k2-4>0，则k<-2或k>2，

此时t2-kt+1=0有两不等根t1,t2，设t1

且t1+t2=k,t1·t2=1，若g(x)有4个零点，

二、题后反思——总结解题原理和易错点

1.解题原理：通过对上述的两个例题的分析，可以发现无论是解决形如f(g(x))的函数零点问题，还是形如af2(x)+bf(x)+c的函数零点问题，其解题原理基本一致，都是通过换元思想和整体代换思想进行求解，具体解题步骤，可以归纳如下.

①换元，令t=g(x)(t=f(x))；

②求解函数f(t)(g(t))的零点或零点个数；

③求解方程t=g(x)(t=f(x))的实根或实根个数或通过已知零点个数判断参数的取值范围.

这种方法的实质是将函数f(g(x))或af2(x)+bf(x)+c的函数零点问题拆分成②③两个问题进行求解.

2.易错点：①没有理解函数f(x)与f(t)是同一个函数；②函数f(x)的图象画错；③误将t的个数当作f(g(x))或af2(x)+bf(x)+c的函数零点个数；④数形结合时，考虑不完善.

三、精彩变式——巩固解题原理

变式教学是对有关数学概念、定理、通性通法等进行不同角度、不同层次、不同背景的变化，有意识地引导学生从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”中探求规律，从而达到对知识、方法等熟练掌握和灵活运用.

变式教学是为了将本源知识进行进一步巩固和延伸拓展.针对例1，例2，笔者设置了如下两个变式题，对此种类型的题目的解题原理进一步巩固，从而突破这个在高考中的难点问题.具体如下.

【变式1】已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)=a(x2+2x-3)，其中a>0，若函数y=f(f(x))恰有7个零点，则a的取值范围是

( )

【答案】D

【解析】此题与例1相比嵌套的函数不同，同时函数f(x)的解析式需要通过奇函数的性质求解，当f(x)的解析式求解出来时，下面的解法与例1基本一致.具体解法如下.

①换元：令t=f(x)；

②求解f(t)的零点：可得t=-3或t=0或t=3；

【变式2】已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1,x2，若f(x1)=x1,且x1

( )

A.3 B.4

C.5 D.6

【答案】A

【解析】此题与例2相比嵌套的函数是一个三次函数，同时关联了该函数的极值点问题，由已知可得x1,x2是方程3x2+2ax+b=0的两根，由f(x1)=x1,且x1

①换元：令t=f(x)；

②求解f(t)的零点个数：可得t=x1或t=x2；

③求解方程t=f(x)的实根或实根个数：即f(x)=x1和f(x)=x2，因为f(x1)=x1