赋Orlicz范数的Musielak Orlicz序列空间的kβ点

左明霞　刘红娇

摘要：Musielak Orlicz空间是经典Orlicz空间的推广，研究了赋Orlicz范数的Musielak Orlicz序列空间的 k β 点的刻画问题 首先在Banach空间中引入了 k β 点的定义，然后给出了赋Orlicz范数的Musielak Orlicz序列空间中 k β 点的判别条件，从而得出了该空间具有局部 k β 性质的等价条件

关键词：Musielak Orlicz序列空间;Orlicz范数; k β 点;局部 k β 性质

DOI：10.15938/j.jhust.2019.01.020

中图分类号： O177.3

文献标志码： A

文章编号： 1007-2683（2019）01-0118-06

On the （ k β ） Points of Musielak Orlicz Sequence Spaces

Equipped with the Orlicz Norm

ZUO Ming xia，LIU Hong jiao

（School of Applied Sciences， Harbin University of Science and Technology， Harbin 150080， China）

Abstract：Musielak Orlicz spaces is the generalization of classical Orlicz spaces In this paper， we investigated the problem of characterization of the （ k β ） points in Musielak Orlicz sequence spaces equipped with the Orlicz norm Firstly， the definition of （ k β ） point is introduced Afterward a criteria for （ k β ） points in Musielak Orlicz sequence spaces equipped with the Orlicz norm was given， and then we got the equivalent condition for local property （ k β ） of these spaces

Keywords：Musielak Orlicz sequence spaces; Orlicz norm; （ k β ） points; local property （ k β ）

1引言及预备知识

β点是 Banach 空间中一个重要的点态性质，它与一致凸点、紧局部一致凸点以及H点有着密切的联系[1]。 Banach 空间X单位球面S（X）上的一点x称为β点是指对于任意ε>0，存在δ=δ（ε，x）>0，使得对于任意的序列（x n）S（X）满足sep（x n）= inf {‖x n-x m‖：n≠m}≥ε，都存在正整数n，使得不等式x+x n2<1-δ成立[1]。在经典 Orlicz 空间中，β点的判别准则已经由文献[1]给出。本文对β点的概念进行推广，引入k β点的定义。设k为一个正整数， Banach 空间X单位球面S（X）上的一点x称为k β点是指对于任意ε>0，存在δ=δ（ε，x）>0，使得对于任意的序列（x n）S（X）满足sep（x n）= inf {‖x n-x m‖：n≠m}≥ε，存在k个正整数n 1，n 2，…，n k，使得不等式‖11+k （x n 1 +x n 2 +…+x n k +x）‖<1-δ成立。显然，当k=1时，k β点就是β点。如果单位球面S（X）上每一点都为k β点，则称该 Banach 空间X具有局部k β性质。 Musielak Orlicz空间是经典Orlicz空间的推广，近几年，对Musielak Orlicz空间几何性质及点态几何性质的研究已经取得了一些成果[2-4]。 本文将在赋Orlicz范数的Musielak Orlicz 序列空间中讨论k β点的刻画问题，并进一步得到该空间具有局部k β性质的等价条件。

设X为 Banach 空间，B（X）和S（X）分别表示X的閉单位球和单位球面。

分别表示正整数集和实数集。

下面给出 Musielak Orlicz 序列空间的定义以及一些相关结果[5-8]。

定义1函数序列M=（M i） ∞ i=1 称为一个 Musielak Orlicz 函数是指对每一个i∈

1）M i：（-∞，+∞）→[0，+∞]是偶的、凸函数，并且在u=0处连续;

2）M i（0）=0且 lim  u→0 M i（u）u=0。

称函数N i（v）= sup  u≥0 {u|v|-M i（u）}为M i（u）的余函数。显然，N= （N i） ∞ i=1 也是一個 Musielak Orlicz 函数。用p i（u）和p - i（u）（或q i（v）和q - i（v））分别表示M i（或N i）的右导数和左导数。

不失一般性，下面假设M i（1）=1（i∈）。对每一个i∈，定义 b～（i）= sup {v≥0：N i（v）<∞}

定义2称 Musielak Orlicz 函数M= （M i） ∞ i=1 满足δ 2-条件（记为M∈δ 2）是指存在常数a>0，K>0以及c i>0（i=1，2，…）满足∑∞ i=1 c i<∞，使得

M i（2u）≤KM i（u）+c i（i∈，M i（u）≤a）

定义3设ε>0，称 Musielak Orlicz 函数M=（M i） ∞ i=1 满足δ ε 2-条件（记为M∈ δ ε 2）是指存在常数a>0， K>0以及c i≥0 （i=1，2，…）满足∑∞ i=1 c i≤ε，使得

M i（2u）≤KM i（u）+c i（i∈M i（u）≤a）

已经证明，若对任意的i∈，u≠0，有M i（u）>0，则M∈δ 2的充分必要条件为对任意的ε>0，M∈δ ε 2[9]。

定义4设x= （x（i）） ∞ i=1 是一个实数列，x关于 Musielak Orlicz 函数M=（M i） ∞ i=1 的模定义为：

ρ M（x）=∑∞ i=1 M i（x（i））

线性集

{x=（x（i））：存在λ>0，使得ρ M（λx）<∞}

关于 Luxemburg 范数

‖x‖=‖x‖ M= inf λ>0：ρ Mxλ≤1

或 Orlicz 范数

‖x‖ o=‖x‖ o M= sup ∑∞ i=1 x（i）y（i）：ρ N（y）≤1

= inf  k>0 1k（1+ρ M（kx））

皆为 Banach 空间，分别记为l M和l o M，称为 Musielak Orlicz 序列空间。h M和h o M是指集合

{x=（x（i））：对任意的λ>0，ρ M（λx）<∞}

继承同一范数形成的l M和l o M的子空间。

文[7]中已经证明l M=h M或l o M=h o M的充分必要条件是M∈δ 2。

对任意的x∈l o M，令

supp x={i∈瘙綃

：x（i）≠0}，

k * x= inf {k>0：ρ N（p（k|x|））≥1}，

k ** x= sup {k>0：ρ N（p（k|x|））≤1}，

K（x）=[k * x，k ** x]，k ** x<∞

[k * x，∞]，k * x<∞，k ** x=∞

，k * x=∞，

θ M（x）= inf λ>0：存在i 0∈瘙綃

，∑ i>i 0 M ix（i）λ<∞。