基于热力学规律对热传导正反问题的求解

安亚帅 张鹏程 武畅

摘要：目前我国有很多工作需要在高温环境中作业，高温作业专用服作为人与环境的中间体，充当人体保护层，由此对热防护服内部热传递规律的研究是问题的关键.通过数据的分析，从I层到IV层建立热传递模型. 基于假设，主要考虑一种热传递形式——热传导.热量由高温环境向人体传导需要穿过构成专用服 装的三层织物材料以及III层与皮肤的间隙.分别建立I、II、III和IV层的导热偏微分方程式及定解的边界条件.根据差分法对偏微方程先进行离散化处理，再逐层计算，求得 每层材料的温度分布.然后，将得到的温度分布实际测的数据进行比较，优化模型，得到最优温度分布.

关键词：偏微分方程；有限差分法

模型的建立与求解

本文主要考虑一种热传递形式——热传导.传热即由温差而引起的能量的转移，在 任何时候，只要在某个介质或者是两个介质之间存在温差，便会发生传热，这种传热我们称为热传导，也叫热扩散.傅里叶定律描述了热传导的基本定律，即在导热现象中，单位时间内通过给定截面的热量，正比例于垂直于该截面方向上的温度变化率和截面面积，而热量传递的方向则与温度升高的方向相反.热传导率是描述材料导热能力的属性.为简便建立模型，假设热传导率不随温度变化，看成一个常量[1].

1模型的建立

I 层高温作业专用服中的热传递

在假设的基础上，建立高温作业专用服第 I 层的导热微分方程 [2]：

I 层初始条件为：

第 I 层边界条件为：

这里，CA 为第 I 层材料的显热容；T 是温度；t 是时间；x 是垂直于高温作业专用 服水平坐标；kI 是第 I 层的热传导率；LI 是第 I 层的厚度.

II 层高温作业专用服中的热传递

在假设的基础上，建立高温作业专用服第 II 层的导热微分方程：

第二层的边界条件为：

这里，CA 为第 II 层材料的显热容；T 是温度；t 是时间；x 是垂直于高温作业专用 服水平坐标；kII 是第 II 层的热传导率；LII 是第 II 层的厚度.

III 层高温作业专用服中的热传递

在假设的基础上，建立高温作业专用服第 III 层的导热微分方程：

第三层的边界条件为：

这里，CA 为第 II 层材料的显热容；T 是温度；t 是时间；x 是垂直于高温作业专用 服水平坐标；kII 是第 II 层的热传导率；LII 是第 II 层的厚度.

IV 层高温作业专用服中的热传递

在假设的基础上，可以得到空气层的热传递模型：

第四层的初始条件：

第四层的边界条件为：

这里，CA为 IV 层材料的显热容；T 是温度；t 是时间；x 是垂直于高温作业专用服水平坐标；kIV 是 IV 层的热传导率；LIV 是 IV 层的厚度；Lsum =LI+ LII+LIII；tmax是暴露在高温环境中的时间.

2模型的求解

一维非稳态热传导的偏微分方程，求解偏微分方程一般都很复杂，利用有限差值法，先对一维非稳态热传导的偏微分方程进行离散，确定每层边界.由左边界已知温度，对 其进行逐层迭代，然后代入所给的数据求得每次材料边界的温度.

建立有限差分方程组，上文我们已经确定了函数边界条件，由中心差分 公式可得到下面的显函数方程：

由此建立起 n 个 m 元线性方程组，由迭代法解该方程组即可获得各节点的函数值.根据有限差分法对偏微分方程先进行离散化处理，再逐层计算，求得每层材料的温 度分布.对于不同的时刻，温度分布如图 2所示：

图 2 中：X 是垂直于高作业专用服水平坐标，T 为温度. 由图可知：当时间为零时，高温作业专用服各层的温度都为 37?C，隨时间的增加，热量逐渐向防护服内传导，高温 作业专用服各层温度逐渐升高. 当达到某一温度时，温度达到平衡. 温度变化趋势及温度 分布与实际的数据相吻合.

参考文献

[1] 朱方龙，服装的热防护功能 [M]，北京，中国纺织出版社，2015.10.

[2] 杨能彪. 一维非稳态导热问题的数值计算 [J]. 青海师范大学学报（自然科学 版），2006（04）：24-26.

[3] 李恒熹. 关于傅立叶（Fourier）定律的表述 [J]. 益阳师专学报，1988（06）：79-81+85.

（作者单位：1.河北工程大学机械与装备工程学院；

2.河北工程大学数理学院）