白噪声干扰下的多重分形算法对比分析

赖佳境

摘要：运用MFDMA，研究了叠加白噪声的二项重分形模型的多重分形特征，并与MFDFA进行对比分析。结果显示：叠加白噪声序列会影响MFDMA与MFDFA算法的计算结果，且在低噪声强度下的MFDMA算法计算精度优于MFDFA算法，随着噪声强度的增大，MFDMA对噪声更为敏感，计算精度下降更快。

关键词：MFDMA；MFDFA；白噪声；多重分形

一、研究的目的与意义

多重分形分析，可以运用于描述具有自相似结构系统的复杂性分析，刻画动力学系统的长期演化和自相似行为，它广泛应用于地质学、生物学等领域[1-2]。研究多重分形的方法有许多种，其中主要研究方法有去趋势波动多重分形分析（MFDFA）、去滑动均值趋势多重分形（MFDMA）、熵分析等[3-5]。

在实际数据的多重分形分析过程中，分形序列可能含有数据噪声。其中白噪声是指功率谱密度在整个频域内均匀分布的噪声，也就是说在一个纯随机过程，白噪声的期望与方差均为常数，因此，一般把所有频率具有相同能量的随机噪声称为白噪声 [6-7]。

因此，本文将运用二项重分形作为理论模型，MFDMA作为研究方法，探讨白噪声对MFDMA算法的影响，并与MFDFA进行对比分析，为进一步应用于实验数据的非线性特征研究提供理论指导。

二、添加白噪声的算法对比分析

在MATLAB环境下分别产生数据个数为1024，噪声强度为1×10-4，5×10-4，1×10-3，5×10-3的白噪声序列各十组，分别计算这四组白噪声的均值后叠加到二项重分形原始序列中，然后利用MFDMA方法计算原始序列与叠加白噪声序列的Hurst指数图像，计算结果如下图2-1。

图2-1 MFDMA计算叠加白噪声序列的Hurst指数

图2-1表示使用MFDMA方法分析的Hurst指数图像，结果显示：当q<0时，叠加序列与原始序列的Hurst指数曲线有偏差，且随着噪声强度的增大，偏差逐渐明显；而q>0时，叠加序列与原始序列的Hurst指数曲线重合，两者无偏差；因此说明白噪声的存在会影响原始序列的分形特征，且随白噪声强度的增大，含噪声序列的Hurst指数偏离原始序列的Hurst指数曲线的程度逐步增大。

运用MFDFA算法替代MFDMA，计算含白噪声的序列，并与MFDFA理论结果进行对比，结果如下图2-2。

图2-2 MFDFA计算叠加白噪声序列的Hurst指数

图2-2的计算结果显示：当q>0时，叠加噪声序列与原始序列的Hurst指数曲线重合，两者无偏差；当q<0时，叠加序列与原始序列的Hurst指数曲线有偏差，且随着噪声强度的增大，偏差逐渐明显；叠加噪声序列的Hurst指数结果会偏离原始数据的Hurst指数理论值，而且随着噪声强度的增大，偏离程度增大。

根据图2-1与图2-2的结果，显示MFDMA与MFDFA计算叠加白噪声序列的Hurst指数具有相似的结果，因此提取图形中的Hurst指数具体数值，进行均方根误差分析，结果如下表2-1。

根据表2-1的计算结果显示，在1×10-4倍白噪声的叠加作用下，使用MFDMA方法计算的Hurst指数原始序列与叠加序列的均方根误差小于运用MFDFA计算得到的结果，说明白噪声强度小，MFDMA相较于MFDFA依然更加稳健，然而，随着噪声强度的增加，MFDMA相较于MFDFA，均方根误差值逐渐增大，且增幅明显，说明MFDMA对白噪声相较于MFDFA更加敏感。因此，当白噪声强度较高时，MFDFA相较于MFDMA的计算结果更加趋于理论值；而当白噪声强度较低时，MFDMA则显示出更加稳定的计算结果。

三、结论

本文以二项重分形序列为研究对象，对比分析了MFDMA与MFDFA在叠加白噪声序列下的多重分形特征。实验结果显示：MFDMA在处理叠加低强度噪声的序列时，计算结果相较于MFDFA更稳定，而随着噪声强度的增加，MFDMA对白噪声更为敏感，对叠加噪声序列的多重分形分析具有较强的非平稳性。造成这种现象的原因在于MFDMA它是通过计算每一个滑动窗口的平均值来进行拟合计算，可以减少由多项式拟合在分割连接点的不连续性所引起的伪波动误差，然而叠加噪声序列会由于MFDMA在滑动窗口均值拟合计算过程中，对噪声数据也重复进行拟合计算，从而造成计算结果偏离理论值，因此，在实际数据的计算过程中，需要对数据进行降噪处理，从而使MFDMA得计算结果更加准确。

参考文献

[1]谢和平，薛秀谦. 分形应用的数学基础与方法[M]. 科学出版社，1997.

[2]朱 華，姬翠翠. 分形理论及其应用[M]. 北京：科学出版社，2011：207-221.

[3]孙霞，吴自勤，黄畇.分形原理及其应用[M]. 中国科学技术大学出版社，2006.

[4]Ihlen E A F. Multifractal analyses of response time series：a comparative study[J]. Psy Soc，2013，45：928-945.

[5]奚彩萍，张淑宁，熊刚，等. 多重分形降趋波动分析法和移动平均法的分形

[6]谱算法对比分析[J]. 物理学报，2015，64：1364031-13640314.

[7]Xie D Y，Wan L，Zhu Y Q，et al. Noise effect on multifractal detrended fluctuation analysis based on element enrichment model[J]. Advanced Materials Research，2014，1008-1009：1548-1551.

[8]吴雪梅，娄珀瑜. 论随机噪声对光谱测量的影响[J]. 计算机与应用化学，2011，28：1343-1345.

基金项目：本文为东莞理工学院城市学院青年教师发展基金《项目名称：基于去滑动均值趋势的多重分形方法的研究及其应用》项目（项目编号：2018QJY004Z）

（作者单位：东莞理工学院城市学院）