数形结合思想在高中数学解题中的应用

刘峤木

摘要：在高中数学解题过程中，数形结合是高中生数学学习必须掌握的内容。本文基于数形结合思想概念界定与分类，对数形结合思想在高中数学解题中的应用进行了分析。

关键词：高中数学   解题   数形结合思想   应用

数形结合思想是重要的数学思想之一，它将抽象的数字语言与直观的图形语言有机结合起来。其主要分为两种：一是以图形性质为条件，对数值进行求解，即借助图形的直观性对数字间关系加以解决;二是以数字为条件，对图形性质进行分析，即借助数字的严谨及精确性，对图形性质进行分析。

根据数形结合思想概念的界定与分类，在高中数学解题中，数形结合思想主要用于以下几个方面：

一、在函数问题中的应用

数学教师运用数形结合思想，解决难度较高的函数题目，这不仅可以降低函数知识学习的难度，还可以较大提升函数问题的解决效率和质量。

如在教学“方程sin 2x=sin x，在区间x∈（0，2π）中，解的个数有多少？”时，数学教师可通过数形结合思想进行解题。在解题过程中，教师可画出两个三角函数的图形，将其置于相同的坐标系中，通过三角函数图像，可得出共有三个解。如此一来，有助于提升学生数学题目的解题效率，增强数学学习能力。

二、在集合问题中的应用

在高中数学教学中，集合有很多表示方法，对集合类题目进行解题时，学生可以应用数形结合思想，以文氏图、数轴等较为明显的图像将集合表现出来，能够使抽象的集合问题实现简化，继而更容易求解出来，有效提升集合问题的解题效率。如下题：M、N为集合I的非空真子集，且两个子集并不相等。如M∩C1M=Φ，则M∪N=（ ）。对这一集合问题进行求解时，教师可应用数形结合思想，通过文氏图来求解，对解题思路进行简化。如图1所示，N=∩C1M=Φ，所以NM。由于M≠N，所以N真包含于M，M∪N=M。在这一解题过程中，应用数形结合思想可避免各类复杂的计算过程。

三、在立体几何问题中的应用

在高中数学教学中，立体几何属于重要的知识体系。在立体几何问题的解题中，应用数形结合思想，可借助立体几何图形和数字的有机结合，实现立体几何解题过程的简化，提高立体几何解题的效率和正确性。如图2所示，在四棱锥P-ABCD中，其底面为平行四边形。已知∠DAB为60°，且AB=2AD，PD⊥面ABCD。若PD=AD，求二面角A-P B-C的余弦值。

对二面角进行求解时，通常需要找到对应的平面角，在计算其边长的基础上，引入余弦定理，然后求解。应用数形结合思想，借助向量法求解，可使復杂的几何问题向相对简单的代数问题转变，在解题思路与过程上均可得到较大简化。

如图3所示，以D为坐标原点，以射线DA为X轴正半轴，对空间直角坐标系统D-xyz进行建立，作为A（1，0，0）、B（0，，0）、p（0，0，0）。则（-1，，0）、（-1，0，0）、（-1，0，0）。对平面PAB法向量进行设置，为n（xyz），可得，即可得，继而可取n=（，1，）。对平面PAB法向量进行设置，为m，可得，从而可取m=（0，-1，-）。cos

在高中数学解题中应用数形结合思想，能有效提高数学题的解题效率与准确率，对数学解题具有重要意义。

参考文献：

[1]潘文芳.数形结合，提升素养——例谈数形结合思想方法的渗透[J].数理化解题研究，2016，（17）.

[2]李天歌.高中数学解题中数形结合思想的运用探索[J].科技创新导报，2017，（20）.

（作者单位：成都市第七中学）