横看成岭侧成峰，远近高低各不同

徐钱诚

高中三角函数部分的公式很多，初学时老师反复要求“理解、记忆、应用”：不仅要记住公式，而且要学会正用、逆用、变用，感觉十分痛苦.进入一轮复习后，经历大量习题的反复演练，三角公式已不再觉得枯燥和繁杂，我反而感觉“三角问题”相对比较简单.尤其是同角三角函数的基本关系之一“sin²α+cos²α=1”（往下简称“平方关系”），从不同视角观察公式的结构，能得到不一样的理解，进而产生多样的应用，可谓“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”.

一、圆上点的“坐标”

三角函数的定义有“终边定义法”和“单位圆定义法”.按照单位圆定义法，正弦、余弦是单位圆上的任一点的“坐标”，由此我们可以迅速地得出同角三角函数的基本关系公式：设角α的终边与单位圆交于P点（如图），则点P的坐标为（COSα，sinα）.又由PO长为1，可得sin^/α+cos²α=1.推导过程蕴含着数形结合的方法，根据“平方关系”可以用三角函数来表示“圆上点的坐标”.

例1

已知a，b，d，为实数，且a²+b²=4，c²+d²=9，求ac+bd的最大、最小值.

分析

本题是《基本不等式》部分的一道易错题，我同桌给出的错误解答如下：

本解法错误的原因是“取等号的条件不满足”，该如何解决呢？如果注意到已知的条件“a²+b²=4，c²+d²=9”的结构：平方和等于常数，这两个等式可以理解为：点（a，b）是圆x²+y²=4上任意一点，点（c，d）是圆x²+y²=9上任意一点.我们可以借用“平方关系”对（a，b）和（c，d，）进行“三角换元”.具体解法如下：

解 令a=2cosθ，b=2sinθ，c=3cosα，d=3sinα，

则ac+bd= 6cos θcosα+6sin θsinα=6sin（θ-α）.

当a=2，b=0，c=3，d=0时，函数取得最大值6;当a=- 2，b—0，c=3，d=0时，函数取得最小值-6.

说明 一般地，借助“平方关系”，我们可以用三角函数表示圆（x-a）²+（y-b）²=r²上的任一点：（rcos α，rsin α）;还可以用三角函数表示椭x²/a²+y²/b²=1上任意一点：（acos α，bsin α），这在解析几何中称为“参数法”，能够简便地处理一类最值问题.

二、正弦、余弦的“等式”

我喜欢这个常常被直接使用的得力助手：“sin²α+cos²α=1”.这个“平方关系”其实就是关于正弦（ sinα）、余弦（cosα）的一个等式，最基本的运用就是相互表示或相互转化，尤其是某一个为“平方”时，可以简化为同一个函数.

例2

求当函数y=sin2 x+ mcos x-1/2m-3/2的最大值为1时m的值.

分析依据题设条件，可转化为关于cos x的二次函数，利用二次函数在闭区间上求最值的方法求解.

三、代数式的“变形”

如果从“平方关系”的特征看，等式的左边是“两个同角三角函数的平方和”，而等式的右边是常数“1”，于是我觉得还可以这样来理解这种特征：“平方关系”可以将“代数式”转化为“常数”.以这样的理解视角，平方关系可以应用于“化简”、“求值”.

分析题目中涉及的信息是同角的正弦和余弦，我们将它们和“平方关系”放在一起观察：“sin x+cos x”，“sin x-cos x”，“sin²α+cos²α=1”，如果將前两个代数式进行“平方”变形，可以得到一个恒等式：（sin x+cosx）²+ （sinx-cos x）²=2.

解因为sin x+cos x=1/5，

平方得sin²x+2sin xcos x+cos²x=1/25·

所以2sin xcos x=-24/25，

所以（sinx-cosx）²=1-2sinxcos x=49/25·

因为-π/20，sin x-cos x<0，

所以sin x-cos x=-7/5·两个角的正弦和余弦关系式，也可以利用“平方”来变形：简化或消元.

四、常数1的“代换”

如果从逆用“平方关系”的视角看，等式的右边是常数“1”，等式的左边是“两个同角三角函数的平方和”，我们可以将“1”用“sin²α+ cos²α”进行代换.

解法1 将“平方关系”看成正余弦的

说明这里运用“平方关系”直接求出正弦和余弦的值，求解时涉及“开方”，要注意“±”.事实上，本题“α是第二象限角”是可以去掉的.因为实际上我们可以不用开方出来求具体的sinα，cosα的值，只要其平方项就可以。

解法2 平方关系的逆用.

从小同角度理解同角三角函数的基本关系“sin²α+ cos²α=1”，使我在问题解决的同时，提高了对公式的认识，不再需要“死记硬背”也能灵活应用.小小心得，与大家分享.