与三角形“外心”牵手的向量问题研究

郑玉梅

向量集数、形于一身，既有代数的抽象性，也有几何的直观性.向量的数量积是其核心内容，也是教学过程中的难点.其求解方案大致可以从“定义、基向量法，或建系、坐标化”等等角度处理.但若是碰到特殊情况，将向量与三角形的外心相结合，此类问题义该如何破解呢？下面就从与三角形“外心”有关的单个向量数量积问题和双参平面向量问题出发，一起来感受一下求解的一般方法！

一、与单个向量有关的数量积问题

本题主要考查三角形中与“外心”有关的单个数量积计算问题，意在考查同学们的运算求解及化归与转化思想运用的能力.初次碰到此题很多同学不会求解，解题过程中，机械地将条件不停地加以尝试和利用，方向不明，耗时较多.

思路一 利用數量积定义，如图1.

思路二 取AC中点，利用垂直转化与化归;

小结

一般地，与“外心”有关的单个数量积问题，与哪条边有关，就取哪条边中点然后向目标线段转化.此题同学们陆续想到的解题思路线索就是上述解法1、2，不同解题思路及到达的相应步骤反映了同学们对此题的熟悉程度.以后随知识的增加，这个易于辨识的常规问题，还可能改头换面，会多一些求边或角的过程，我们要揣摩出题者的意图，在解决问题的局部时进行行动方向上的评估，选择与变通使用解题方法，来克服所遇障碍与困难.所以在对准目标的基础上，掌握一些基本套路还是必要的，二、与双参平面向量有关的问题

“由少变多，由简单变复杂”是数学m题的规律，当题目涉及一个向量为另外两个向量的线性组合时，构造数量积是解决此题的必然，因为若要充分应用题目中有关向量的模和夹角条件，只有借助于数量积才做得到.向量与外心结合的双参平面向量问题，常采用两种处理方法，即①平方法;②点乘相关向量法.

通过平方，将双参平面向量问题转化为方程组问题顺利求解.

此题，有些同学在尝试的时候可能会选择等式两边点乘AB或万古，但都无功而返，考虑到求解的是l万石l，故两边点乘万方则显得有效而义自然.

小结

与外心有关的双参平面向量问题，如果给卅的式子是形如面j—z oJB+v顶耋型;则可考虑平方法;如果给m的式子是形如石方一z万百+v万方型，则可采用相关向量点乘法.当然除上述方法外，如果能建系，也可以从坐标运算考虑并尝试.

对于三角形的外心，我们需要知道以下几点：

（3）外心到三个顶点的距离相等;

（4）当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部;当三角形为直角三角形时，外心是斜边的中点;当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部.

当然，向量与兰角形的“心”有关的问题还会与三角形的重心、内心、垂心等结合，这一类题既有思考性和挑战性，也有足够的深度和难度.从知识点与难易程度来看，与外心结合的题目虽然没有与重心结合的题目卅镜率那么高，但若考到，其基本方法和基本思考角度还是要尽量熟悉的.同学们，你会了吗？