漫谈向量的投影

韩文美

向量的投影具有明显的几何意义，是数量积相关概念的拓展，在实际解决平面向量问题中具有灵活的效用，我们要深刻理解要领，主动应用向量的投影解决相关问题.

一、向量的投影的概念

1.概念

设a，b是两个非零向量，它们的夹角为影，则∣b∣cosθ叫做向量b在a方向上的投影，同理，|a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影.

2.说明

向量的投影和两向量的数量积都是数量，不是向量，而且两者具有正负值的一致性：当两非零向量a，b的夹角θ为零角或锐角时，投影（数量积）为正值;θ为钝角或平角时，投影（数量积）为负值;θ为直角时，投影（数量积）为0.

3.变形公式

向量的数量积公式a·b= |a| |b|cosθ变形可得向量b在a方向上的投影公式为：|b|cosθ=a·b/|a|·

二、向量的投影的应用

例1 若向量a在b方向上的投影与向量b在a方向上的投影相等，那么非零向量a，b的关系为___.

分析 根据题目条件建立关系式|a|cosθ=|b| cosθ，结合cOsθ是否为零的条件加以分类讨论，进而确定非零向量a，b的关系.

解 由题知，向量a在b方向上的投影|a|cosθ与向量b在a方向上的投影|b|cosθ相等，

可得|a|cosθ=|b|cosθ.

当cosθ=o，即θ=Π/2时，此时a上b，上式成立;当cosθ≠O时，则有lal=lbl;

综上分析知非零向量a，b的关系为a上b或|a|=|b|，故填a上b或|a|=| b|.

点评

涉及此类向量的投影的概念问题，必须充分考察概念中相应参数的意义，在本题中，根据已知条件得到关系式|a| cosθ=|b|cosθ，进而要充分考虑两向量的夹角、模的相关意义，不要出现遗漏而导致错误.

分析

根据点的坐标确定相应向量的坐标，结合投影的变形公式计算对应向量的数量积与模，代入相应的公式加以求解即可，

由变形公式知AB在CD方向上的投影

点评

根据投影的变形公式求解投影时，关键是正确把握两个不同的角度：向量b在a方向上的投影公式为a·b/|a|，向量a在b方向上的投影公式为a·b/|b|，注意不要出现两者的混淆而导致错误.

例3

圆○为△ABC的外接圆，半径为则向量BA在向量BC方向上的投影为

解析

根据向量共线定理先得到○是BC的中点，进而确定的形状，并结合条件得到∠B一30°，再结合投影的定义公式来求解.

点评

利用投影的定义公式求解投影时，关键是确定相应向量的模与两对应向量之间的夹角.特别在平面图形中，要注意平面几何中的角与向量的夹角两者之间的区别，有时两者相等，有时两者互补，不要混淆.

分析

根据向量a在b方向上的投影|a|cosθ以及向量b的值|b|，通过向量的数量积公式，把|a|cosθ作为一个整体，进而代入求解即可.

点评

涉及向量的数量积问题，经常把向量的投影作为一个整体来处理.本题当中就是把|a|cosθ作為一个整体，代入向量的数量积公式中加以求解.

分析

根据向量的投影与直角三角形的性质可得|AB|cosA=|AC|，这样就巧妙地把向量的数量积公式转化为向量的投影与另一向量的模的乘积问题，从而得以求解.

点评

本题巧妙借助盲角三角形的背景，把向量的数量积公式中的|AB|cosA作为向量的投影加以转化，利用直角三角形的性质借助|AC|得以代换，从而达到巧妙转化、直观应用的目的.

由于向量的投影具有明显的几何意义，它是解决平面向量问题的重要手段，也为平面几何、解析几何、立体几何等问题的解决提供一个方便、实用的工具.所以在向量的学习过程中，要加强基本概念和基本运算的灵活应用，提升拓展水平，提高解题能力.