改进的小波域阈值算法在图像去噪中的应用

张瑞雪，沈小林

（中北大学电气与控制工程学院，山西太原 030051）

0 引 言

图像容易受到恶劣环境、光线变换和线路传输距离等因素的影响，导致图像噪声产生，这些噪声严重影响图像质量，破坏图像在内容、结构等方面像素之间的相关性，不利于图像的后续处理，所以必须要对含噪图像进行平滑去噪处理。图像去噪方法主要分为空间域与频率域两种方法[1-2]。空间域法是对图像像素进行处理，如均值滤波、中值滤波等，这些方法不顾每个像素自身的特点，以致于在去噪的同时也屏蔽了图像的边缘信息；频率域去噪法是将原始图像通过一些积分变换，将其变换到频率域，接着在频率域对其进行操作，最后再反变换到空间域中，进而使图像得到增强，以此达到去除噪声的目的。图像频率域去噪方法有很多，常用的有傅里叶变换、小波变换等，其中小波变换就是很好的去噪方法。因为小波变换独有的低熵性和多分辨率特性，可以提供信号与频率相独立的尺度信息，有良好的时频特性，能够准确地进行信号去噪，小波阈值去噪已成为去噪的经典方法[3-6]。

传统阈值去噪法是由Donoho 等人提出的小波硬阈值与软阈值函数去噪方法[7]，该方法计算量小，实现简单，应用广泛。但这两种方法都有其自身的缺陷。文献[8-11]都是针对这两种算法提出的改进算法，在实际应用中也取得了良好的效果，然而也存在缺陷。文献[8]中的算法虽然在一定程度上缩小了估计小波系数与原始小波系数之间的恒定偏差。但它的计算量大，且有两个变量，计算复杂。文献[9-10]也在一定程度上减小了小波系数的绝对值与估计小波系数之间的恒定偏差，但它们均没有平滑作用，即这两个算法在阈值点处不连续。文献[11]可以通过改变调节因子使阈值函数在软、硬阈值之间来回变动，且阈值函数在阈值点处也连续，但是计算相对复杂。针对软、硬阈值函数及这几种典型阈值去噪函数的不足，本文提出新的阈值函数，并对阈值进行适当改进。最后经过实验证明本文提出的改进阈值算法的优越性。

1 小波阈值去噪原理

1.1 理论依据

假设原始图像信号为Xj,k(j,k=1,2,…,N)，则被噪声污染的图像信号Yj,k的表达式为：

式中ξj,k是方差为σ2的噪声。去噪的目的就是去除Yj,k中的噪声ξj,k，使得估计值与其原始值Xj,k的均方误差最小。

图像在经过小波变换后，较大的小波系数主要以实际图像信号为主，而较小的系数则在很大程度上是噪声[12]。所以小波域阈值去噪就是通过选取合适的阈值，将幅值大于阈值的小波系数做最大程度的保留，同时将幅值小于阈值的小波系数统统置零。最后再对经过阈值量化后的小波系数进行小波逆变换，就可得到去噪后的图像。

1.2 常用的阈值函数

设Wj,k为原始的图像小波系数，λ是阈值是阈值量化后的图像小波系数（下同），则硬、软阈值函数表达式为：

从式（2）中可以看出，硬阈值函数是间断函数，导致滤波后容易在图像信号的间断点处产生比较大的震荡，因此，利用硬阈值函数进行阈值化后，再进行重构的图像信号往往会出现伪吉布斯（Pseudo-Gibbs）现象，使重构的图像失真。从式（3）中可以看出，使用软阈值去噪法得到的小波系数整体连续性虽然好，但当|Wj,k|≥λ时，估计值与实际值之间总存在固定的偏差，固定偏差大小为λ，严重影响重构的图像信号与原始输入图像信号的逼近程度。

为了克服软、硬阈值去噪法的缺陷，国内外的研究提出了多种改进方法，本文列举几种典型的算法，进行简单的介绍。

双变量阈值函数表达式[8]为：

图1 双变量与软、硬阈值函数Fig.1 Bivariate threshold function，soft and hard threshold functions

折中阈值函数表达式[9]为：

式中：α为可变参数，且α∈[0,1]。α的作用是调节软阈值法中的恒定偏差，该阈值法没有平滑作用，即该算法在Wj,k=λ处不连续。当Wj,k∈[-2,2]，α=0.5，λ=0.8时图像如图2 所示。

图2 折中与软、硬阈值函数Fig.2 Eclectic threshold function，soft and hard threshold functions

均方根阈值函数表达式[10]为：

指数阈值函数表达式[11]为：

式中：u=1-exp[-m(|Wj,k|-λ)2],m＞0，m为调节因子，可以调整u的变化程度，进而使该算法在软、硬阈值之间来回变动。该阈值函数在Wj,k=λ处也连续，但是计算相对复杂，且m的取值大，也不好调整。当Wj,k∈[-2,2]，m=45，λ=0.8时函数图像如图4 所示。

图3 均方与软、硬阈值函数Fig.3 Square root threshold function，soft and hard threshold functions

图4 指数与软、硬阈值函数Fig.4 Exponential continuous threshold function，soft and hard threshold functions

2 改进的小波阈值去噪算法

2.1 改进的阈值函数

为了弥补以上方法的不足，本文在上述去噪法的基础上，提出一种改进算法：

式中n为正实数。当|Wj,k|大于λ时，的值始终处于0和1 之间；从而的值也处在0和1之间；随着|Wj,k|值的增大，不断减小，从而也跟着减小，这样大大减小了软阈值去噪算法中产生固定的、大小为λ的偏差，形成了对偏差的动态填补。当|Wj,k|→λ时，→0，当|Wj,k|=λ时，=0，该算法在λ处连续，所以本文提出的改进算法也弥补了硬阈值算法、折中阈值算法和均方根阈值算法的缺陷；当|Wj,k|→∞时→Wj,k，因此，改进的阈值函数以=Wj,k为渐近线，随着Wj,k的增大而逐渐接近于Wj,k。并且该阈值算法相对简单，计算量小，可以减少双阈值法和指数法去噪的时间，提高去噪效率。由此可见，改进的阈值算法可有效克服上述几种阈值算法的缺点，它的实用性更强，应用更广泛。

2.2 阈值的选取

阈值λ的选取在小波域阈值去噪过程中至关重要。如果阈值选取过小，那么阈值量化后的小波系数中会含有较多的噪声分量，导致图像去噪不充分；如果阈值选取过大，则会丢失部分有用的图像信息，导致重构后的图像失真[13]。

常用的小波阈值选取方法有通用阈值法、Stein 无偏风险阈值法、极大极小阈值法和启发式阈值法等4 种阈值选取规则[14-15]。通用阈值的公式为为信号长度，σ为噪声标准差。通用阈值求取的是阈值的上限，而不是最佳阈值，它会对边缘小波系数产生严重的“过扼杀”现象，使得去噪后的图像变得模糊不清，直接导致小波重构后的图像误差增大。Stein 无偏风险阈值准则可以求出理想阈值的估计值，但它没有显式的表达式，并且阈值的计算需要事先知道图像信号本身，在实际求取中，这是不可能的。启发式阈值和极大极小阈值准则在某些方面可以获得比较好的去噪效果，但其计算量非常复杂。

在阈值去噪中，噪声的小波系数与分解尺度成反比，即分解尺度越大，分解的小波系数越小。所以对图像进行降噪处理时，不同的分解尺度，阈值的选取应有所不同，阈值的选取准则应是随着分解尺度的增大而减小[16]。本文对现有阈值选取算法做适当的改进，其表达式为：

式中σ=median(|Wj,k|)/0.674 5。这个阈值选取准则可有效克服上述几种阈值选取准则的缺点，且计算相对简单，不但可以取得较好的去噪效果，实用性也强。

2.3 改进的小波域阈值算法去噪步骤

改进的小波域阈值算法具体去噪步骤如下：

第1 步：选择合适的分解层数和合适的小波基，小波基一般根据具体噪声图像的特点进行选择；

第2 步：对式（1）中的带噪图像Yj,k进行多层次正交小波变换，得到一组小波分解系数Wj,k；

第3 步：对式（1）中噪声ξj,k方差σ进行估计，噪声方差σ=median(|Wj,k|)/0.674 5，再根据式（9）求出门限阈值λ的值；

第4 步：对各层高频系数进行阈值化处理。它是对小波分解每一层的高频小波系数进行阈值量化处理，具体操作是：以λ为门限，将大于阈值λ的小波系数进行保留，同时，将幅值小于阈值λ的小波系数置为零，得到估计的小波系数；

第5 步：把经过阈值量化后的第1 层到第N层的高频系数和没有进行阈值量化处理的低频小波系数进行小波逆变换，就可得到去噪后的图像。

3 结果对比分析

图像的噪声主要来源于敏感元器件内部产生的高斯白噪声、感光过程产生的颗粒噪声和光电转换过程的泊松噪声。往往采集到的图像不是只有单一的噪声，而是多种噪声的混合。为了验证改进阈值算法的有效性，使用Matlab 软件对加入标准差为20的高斯白噪声和标准差（归一化）为0.5的椒盐噪声的Lena 图像、Cameraman 图像和拍摄到的Tulips 图像进行验证。本文基于sym8 小波基支集长度长、连续性好和正则性好等特点，采用sym8 小波基进行图像的3 级分解与重构，经过多次Matlab仿真实验，改进的阈值函数，也就是式（8）中的n取8时，去噪效果最好。去噪效果如图5～图7所示。

图5 对Lena图像用不同方法去噪结果对比图Fig.5 Comparison of denoising results of Lena image using different methods

图6 对Cameraman图像用不同方法去噪结果对比图Fig.6 Comparison of denoising results of Cameraman image using different methods

图7 对Tulips图像用不同方法去噪结果对比图Fig.7 Comparison of denoising results of Tulips image using different methods

从图5～图7 中可以看出，本文算法的去噪效果在视觉上优于上述几种去噪算法。为了进一步验证去噪效果，以MSE，PSNR，PMSE和SNR 为判定标准：

式中：Xi为原始图像的第i个像素；为去噪后图像的第i个像素；N为总像素。

由式（10）～式（13）可知，当MSE和PMSE 越小，同时，SNR和PSNR 越大时，去噪效果越好。Matlab仿真得出的客观评价标准如表1～表3 所示。

表1 Lena图像去噪客观评价标准Table 1 Objective evaluation criteria of Lena image denoising

表2 Cameraman图像去噪客观评价标准Table 2 Objective evaluation criteria of Cameraman image denoising

表3 Tulips图像去噪客观评价标准Table 3 Objective evaluation criteria of Tulips image denoising

4 结 论

本文在分析软、硬阈值函数以及几种代表性的改进阈值函数的优缺点后，提出小波域阈值改进算法，并对阈值做了适当改进。经过Matlab仿真实验验证，改进的阈值函数在计算相对简单的情况下有较好的去噪效果，且可以很好地保护图像的细节信息。由于本文算法计算量较小且去噪效果显著，可以应用在很多方面，例如，雾霾天采集的不清晰图像、煤尘图像、舰基图像的预处理和火灾监控烟尘去噪等图像去噪中，具有非常广阔的应用前景。