基于约束终止状态的行星混合动力系统全局优化算法∗

曾小华，王 越，杨南南，宋大凤，李广含

(吉林大学，汽车仿真与控制国家重点实验室，长春 130025)

前言

与传统的内燃机车辆相比，混合动力汽车可实现更好的节能减排，而能量管理优化策略对发挥其节能减排有着至关重要的影响[1]。

当前基于优化的能量管理策略，主要包括瞬时优化控制和全局优化控制[2]。其中，全局优化控制策略是以全工况下的综合能耗最小为控制目标，获得系统的全局最优解，能保证系统在整个行驶工况中的综合能耗最小[3]，由于其节能效果优于瞬时优化控制，得到相关研究人员的青睐[4]。文献[5]中针对全局优化计算量大的问题，基于电池充放电电流划分不同SOC的可行域来减少全局优化的计算量。文献[6]中为简化动态规划算法，通过降低变量网格来减少计算量，再通过多次迭代提高计算精度，逼近最优解。文献[7]中研究得出动态规划算法中SOC罚函数的权系数直接影响动态规划优化效果和SOC平衡。文献[8]中针对传统动态规划算法中存在成本函数受SOC变化影响大的问题，提出以等效油耗为成本函数和采用割线迭代法求解权系数的动态规划优化算法。

可见，当前全局优化的研究主要存在以下问题：(1)直接应用全局优化算法面临运算量大和时间成本高的问题；(2)基于动态规划的全局优化算法通常采用罚函数来满足系统的终止状态约束条件，需要研究者凭借经验进行多次调试，工作量庞大，不利于算法的自动化实施。

基于以上问题，本文中在分析行星式混合动力系统效率特性基础上，将行星式混合动力系统的2个自由度转化为2个控制维度，由此设计一种分层优化架构，利用瞬时最优控制策略实现底层控制的最优，利用单维度的全局优化策略实现顶层控制的最优。通过仿真得出所提出的全局优化算法可使整车油耗进一步降低。同时，在全局优化算法中采用基于终止状态受约束的边界求解方法实现系统状态约束，也有效避免了为实现电量平衡而产生的大量调试工作，降低优化成本，减少计算工作量。

1 双行星混合动力系统构型

本文中研究对象为一种应用于城市客车的双行星排式混合动力系统，系统构型简图如图1所示，包括发动机、电机MG1与MG2和双行星排 PG1与PG2，前行星排PG1为系统的功率分流机构，后行星排PG2的齿圈被固定于变速器机壳上，为电机MG2的减速机构。

图1 双行星混合动力系统构型简图

忽略系统内部转动惯量和摩擦损失，得

式中：ωe为发动机转速；k1为前行星排特征参数；ωr1为前排齿圈的转速；ωg为电机MG1转速；Ts1为前排太阳轮转矩；Tc1为前行星架转矩。

由后行星排的转速和转矩关系，可得电机MG2与系统输出轴的转速、转矩关系：

式中：ωc2为后排行星架转速；ωm为电机MG2转速；k2为后行星排特征参数；Ts2为后排太阳轮转矩，即电机MG2转矩Tm；Tc2为后排行星架转矩。

2 系统效率特性分析

本节中在行星式混合动力系统效率特性分析的基础上，说明系统能量管理策略的两个优化控制维度。为了便于研究，将行星式混合动力系统分为发动机和传动系统两部分，分别研究两部分的效率。

2.1 发动机工作效率

发动机的工作效率ηe通常利用其燃油消耗率be定义：

式中C为柴油热值，本文中取值42 500 kJ/kg。be可表示为

式中：Te为发动机输出转矩；Be为发动机喷油率，g/h。

发动机效率主要受发动机工作点的影响。工程中针对行星式混合动力系统常用发动机最优控制策略，能有效发挥行星式混合动力系统转速、转矩双解耦的特性，实现发动机工作效率的最优化控制。

2.2 传动系统效率

定义行星式混合动力系统的广义传动效率为传动系统输出功率与输入功率之比。根据电池充、放电的不同情况，得到系统的广义传动效率：

式中：Po为传动系统输出功率；Pbat为电池输出功率；Pe为发动机输出功率。

由行星式混合动力系统的工作特性可知，传动系统效率受机械点影响，在忽略各部件工作效率的前提下，可得电机MG1的电功率与发动机输出功率关系：

式中1－δ表征了系统内电功率占发动机输出功率的比例。

在电池功率为零的前提下：当δ＝1时，发动机输出功率全部经由机械路径输出，此时即为系统的机械点；而δ＜1代表机械点前的工作状态，电机MG1发电，MG2放电；δ＞1代表机械点后的工作状态，电机MG1电动，MG2发电。

考虑机械点前、后以及电池充、放电情况对传动效率的影响后，可得不同情况下的系统的广义传动效率：

式中：ηg和ηm分别为电机MG1和MG2的工作效率；ηr1和 ηr2分别为前、后行星排的机械效率；γ＝Pbat/Pe，表示电池功率相对于发动机功率的比例。结合上式可知，系统传动效率除受到两电机工作效率和机械传动效率的影响外，还是关于分离因子δ和电池功率比例γ的函数。

根据式(5)，在确定系统输出功率和电池功率的前提下，传动效率将决定发动机输出功率，即Pe＝fpe(Po，Pbat，ηtr)，由式(4)和式(5)可得

由于发动机燃油消耗率be可表示为be＝f(Pe，ωe)＝ f(Pe，v，δ)，发动机功率又是系统输出功率和传动效率的函数，再结合式(8)传动效率又是关于分离因子的函数，因此，发动机喷油率最终可表示为车速、系统输出功率、电池功率和分离因子的关系式：

由式(10)可知，系统输出功率Po和车速v确定，则在行星式混合动力系统的能量管理策略优化问题中，控制变量包含电池功率Pbat和分离因子δ两个维度。

根据式(5)，最优的传动效率对应确定状态下的最小发动机输出功率，而发动机效率与系统燃油消耗率呈反比，即最优的发动机效率对应最小的发动机燃油消耗率；发动机喷油率为发动机功率与燃油消耗率的乘积，则最优的系统综合效率即对应最小的发动机喷油率，由此可得瞬时最优控制的目标函数。

基于上述分析，本文中将这两个控制维度拆分为两个控制层级。第一，在确定的系统输出功率、车速和电池功率下，以分离因子δ为控制变量，以系统综合效率最优为控制目标的瞬时最优控制问题，从而确定最优系统综合效率对应的发动机工作点。第二，在瞬时最优控制的基础上，以电池功率Pbat为控制变量，以整车燃油消耗量最小为控制目标的全局优化控制问题，即确定全工况下的发动机功率和电池功率优化分配策略。

3 瞬时最优控制策略

本节中通过瞬时最优策略建立发动机转速和发动机功率之间的约束，在给定的系统状态和目标电池功率下，确定使得系统综合效率最优的发动机工作点。

由于最优的系统综合效率对应最小的发动机喷油率，结合式(10)可得瞬时最优控制的目标函数：

系统状态 x＝[v，Po，Pbat]；控制变量 u＝δ。 可见，瞬时最优策略的优化结果为不同车速、系统输出功率和电池功率下的最优分离因子。

由于系统输出功率Po与电池功率Pbat之间仅有一个非线性因素，即为电机MG2的工作效率。基于此，定义系统等效输出功率P′o为

根据式(11)和式(12)，系统状态变量转换为x＝[v，P′o]；控制变量为u＝δ。 因此最优分离因子可表征为系统等效输出功率与车速的二维关系，考虑系统的非线性特性，采用遗传算法求解系统在不同状态下的瞬时最优控制变量。在确定车速下，系统输出功率和输出转矩直接对应，考虑到需求转矩在实车控制中更为常用，计算得到不同系统输出转矩和车速下的系统瞬时最优分离因子，如图2所示。

由图可见，由于公交客车行驶车速较低，绝大多数情况下系统的最优分离因子都被控制在1以下，仅少量高速、低负荷(输出转矩小于400 N·m)的情况下，分离因子超过1。实车仅空载情况下的滚动阻力已经超过700 N·m，这部分分离因子超过1的情况几乎不可能在实际运行中出现。但考虑到这里的需求转矩是系统等效输出功率对应的需求转矩，若电池放电功率较大(放电时Pbat＜0)，等效输出功率接近0的情况也可能发生，因此，仍保留了该部分计算结果。

4 全局优化策略

为保证系统在全工况下的总体油耗最小，还须利用全局优化算法确定目标工况下每一时刻的优化电池功率。

4.1 全局优化原理

行星式混合动力系统的全局优化问题可表述为

采用动态规划(DP)方法将式(13)和式(14)所表示的优化问题转化为离散系统的最优化问题：

式中Π为在目标工况下所有可行控制规则的集合。

根据DP的优化原理，系统的全局最优解可转化为后向的优化序列。

(1)系统最终时刻N的成本(见式(16))表示在约束范围内，各系统状态对应的瞬时成本和惩罚。

式中：lN(xi)为最终时刻N状态变量为xi时的系统瞬时成本；gN(xi)为最终时刻N基于状态变量xi的惩罚量。

(2)根据DP的后向优化原理，从k＝N－1到0的迭代计算可表示为

根据得到的初始时刻各状态变量对应的最优控制路径后，从目标初始状态x0出发，根据各时刻状态变量与最优控制变量的对应关系，进行前向计算，即可确定

4.2 优化边界求解

为避免实现电量平衡而进行的大量调试工作，本文中采用一种终止状态受约束的边界求解方法，在DP后向寻优前，首先开展系统边界计算，获取每一时刻状态变量的边界约束，进而通过在后向迭代寻优过程中考虑边界约束[9]，实现系统的电量平衡。以下边界的求解为例说明边界计算方法。

由等效内阻模型作为电池模型，可得到电池电流Ibat和电池功率Pbat之间的关系：

式中rint为电池内阻。根据SOC与电池容量Qbat和电流的关系，可得系统容量与电流的关系：

根据式(19)可得系统状态变量与控制变量的关系：

可见，系统状态与控制变量之间的关系可以表示为

定义k时刻能够允许系统达到终止状态下边界的最小状态变量值为该时刻的下边界约束xk，low。根据混合动力系统的电量平衡要求，在其控制问题中，系统终止状态的范围为控制目标，是已知量，即xN，low＝xf，min，xf，min为终止状态的下边界值。 基于此，k＝N－1到k＝0时刻的系统状态下边界可以用后向迭代计算进行求解。

考虑本系统的状态变量SOC为[0，1]之间的正数，式(22)可进一步改写为

在后向迭代计算中，xk＋1，low为已知量(初始值为xf，min)，仅 xk，low和 uk为未知变量，因此，xk，low的求解属于不动点问题(x＝f(x))，可利用不动点迭代方法进行求解。k时刻的下边界求解流程如下。

考虑状态变量 SOC的数量级，取容差 ξ＝10－5。在完成k时刻的下边界求解后，重复上述(1)和(2)两步，继续求解得到k－1时刻的下边界，直到k＝0。

为实现系统电量平衡，将终止状态xf的上下边界设置为基于目标状态的较小范围，利用上述边界求解方法，即可实现基于终止状态约束的边界求解。

4.3 全局优化结果

基于前文中建立的瞬时最优控制策略和受约束的动态规划算法，在中国典型城市工况下完成能量管理策略的优化。首先，得到系统边界约束求解结果和优化的系统状态，如图3所示。考虑电池的高效工作区间，本文中限制电池SOC的变化范围为40%～60%，同时，为了实现电池电量平衡，设置终止状态的边界约束[xf，min，xf，max] 为[50%，51%]。 可见，本文中所采用的边界求解方法能有效保证终止状态数值，从而实现电量平衡，终止时刻的电池SOC达到50%。

图3 优化结果及边界约束

为验证基于瞬时最优策略的全局优化算法，分别建立了基于控制规则的发动机最优控制策略(heuristic rule-based engine optimal control，HREOC)、瞬时最优控制策略(heuristic rule-based instantaneous optimal control，HR-IOC)和基于瞬时最优策略的全局优化(DP-IOC)，并基于中国典型城市工况进行仿真验证。燃油经济性仿真结果见表1。

表1 燃油经济性对比

由表可见，相比于HR-EOC策略，DP-IOC在中国典型城市工况下的100 km油耗降低了2.66 L；相比于HR-IOC策略，DP-IOC在中国典型城市工况下的100 km油耗降低了1.93 L。结果表明，利用DP算法对电池的电量使用规则进行优化，能够进一步降低整车油耗。

DP-IOC和HR-IOC策略下的发动机工作点分布如图4所示。由图可见，相比于基于规则的控制策略，DP优化结果中，更多的发动机工作点分布在低速区间。

图4 发动机工作点对比(HR-IOC与DP-IOC)

统计DP优化结果的分离因子，结果如图5所示。由图可见，在DP优化结果中，分离因子向着机械点方向移动的趋势更加明显，这说明全局优化算法通过电池电量的合理利用，进一步优化了系统的综合工作效率。

图5 分离因子统计(HR-IOC与DP-IOC)

针对优化计算结果进一步开展统计分析，可说明系统优化的原理和效果。系统综合效率是发动机工作效率与传动系统效率的乘积。其中，发动机工作效率可根据仿真得到的发动机燃油消耗率计算得到，传动系统平均工作效率可表示为

式中：Edr为统计得到车轮处消耗的驱动总能量；Ergb为电池回收的再生制动能量；ηrgb为再生制动能量存储于电池并释放用于驱动车辆所产生的效率，主要受到电池充放电效率、电机效率和传动路径的机械效率影响；Eeng为发动机输出总能量。 Edr－Ergbηrgb表示考虑再生制动后车轮处所需的驱动总能量。根据以上定义，基于仿真结果统计得到发动机平均效率、传动系统平均效率和系统综合效率，见表2。

表2 系统综合效率分析

由表2可见，HRB-IOC策略下的发动机平均效率较为优化，在中国典型城市工况下达到42.5%，但传动系统平均效率相对较差，仅为72.1%，系统综合效率为30.7%。经过全局优化后，发动机平均工作效率略有恶化，为41.2%，但传动系统平均效率显著提升，达到82.0%，传动系统平均效率的提升使得系统综合效率提升，达到33.8%。综上可见，全局优化算法通过电池电量的优化使用，进一步提升了系统传动效率和综合效率，从而实现了整车油耗的进一步降低。

5 结论

通过系统效率特性分析，将行星式混合动力系统的2个自由度转化为2个控制维度。基于系统的2个控制维度，首先采用瞬时最优控制策略以系统综合效率最优为目标，实现给定系统需求和电池功率条件下的发动机工作点寻优；此后，以全工况下的综合油耗最小为目标，以电池功率为控制变量，利用全局优化算法实现电池电量的优化利用。仿真结果表明，基于瞬时最优策略的全局优化算法进一步提升了系统传动效率和综合效率，从而实现了整车油耗的进一步降低。

此外，本文中在全局优化算法中采用基于终止状态约束的边界求解方法实现系统状态约束，解决了当前全局优化目标函数中罚函数的不确定性问题，避免了为实现电量平衡而产生的大量调试工作，提升了优化算法效率和在线实施的可行性。