一道填空题的探究之旅
2019-04-10闵骏祥
闵骏祥
也许是对数学情有独钟，自从我进高中以来，我从未放弃过遇到的任何一道难题．通法解不了的，多观察，用特殊的方法解．代数方法解不了的，就用图象来辅助求解．多做尝试，多转换思路，多变动审题视角．哪怕实在解不出，我也会将其记录下来，在日后的学习过程中将其攻克．好的数学思维绝不是短时间形成的，只有通过长期的思考和积累才能锻炼出来．如果不是天才，那么我们只有思考得比别人多，花的时间比别人长，才可能拥有比别人好的数学成绩．
下面我就通过学习过程中遇到的一道难题，在探究解决的过程中发现了一个特别的方法，与同学们分享交流一下．
题目已知函数f（x）=|ax-1|（a＞1）的图象为曲线C，O为坐标原点，若P为曲线C上的任意一点（点P不与原点O重合），曲线C上存在点Q使得OP⊥OQ，则实数a的取值集合是______．
一、解题历程
分析一将y=ax（a＞1）的图象向下平移1个单位长度得到y=ax-1的图象，再将x轴下方的图象沿x轴对称翻折到上方得到f（x）的图象，取点Q，点P，使OP⊥OQ，如图1．由垂直得到两直线的斜率乘积等于-1，用点的坐标表示出斜率．
探索一
先讨论下点P，Q关于y轴的位置：
①点P，Q在y轴的同侧：
则kOP与kOQ同号，乘积取不到负1，所以不成立．
②点P，Q在y轴的异侧：
不妨先设点P（x1，y1），Q（x2，y2）（x1＜0＜x2），得到．
图1
由于x≠0，所以无法确认函数的单调性．
图2
于是我便去寻求帮助，先是借助了网络，看了下网上的解题过程，发现网上直接由①g（x）在｛x|x≠0｝上单调递减，②g（x1）=，得出a=e，我并不理解也不认可这一步过程．用几何画板画出的图象后发现，对于任意g（x1）（x1＜0）都有一个g（x2）（x2＞0）与之互为倒数，但仅凭这个函数图象并不能帮助我解决最初的难题．
看来我必须要回过头来，再好好想一想．
疑问：网上的答案a=e是正确解吗？如果正确，为什么会具有唯一性？这道题这么复杂，是不是可以简化呢？是不是有什么条件我没有利用到，没有看透呢？
分析二绝对值的存在使得函数的性质及其图象变得相当复杂，这一点很不利于我的分析思考，那如果将绝对值去掉可不可行呢？这样做又会有什么效果呢？虽然这种尝试有些盲目，但是化繁为简的数学思想是起到了一定的引领作用的．我似乎抓住了什么，有了一点新的思路．赶紧试一试！
探索二之前的探索并非无功而返，P，Q一定是在y轴两侧取点，即P，Q在原点O的两侧．
不妨令P（x1，y1）在原点左侧，Q（x2，y2）在原点右侧，即x1＜0＜x2，由OP⊥OQ，得．
我们想一下，对于脱去了绝对值的函数y=ax-1而言，P的位置发生了变化，不妨记之为P′，即将P（x1，y1）变为P′（x1，-y1），如图3，此时kOP′·kOQ=1，因为我们假设了P在原点左侧，如果P在右侧，则Q的位置相应地变化为Q′（x2，-y2），最后类似得到kOP·kOQ′=1．
既然跟斜率、跟原点都有关系，我又试着在原点处作切线l1，记l1的斜率为k，k=f′（0）=lna．此时我脑海中灵光一现，联想到a=e，使我想到了lne=1．瞬间接上了，斜率乘积等于1．
此刻我的内心无比激动，很显然，之前的努力并没有白费．由斜率想到切线，打通了我的思路．
我们先简化下原题：
【等价题】已知函数y=ax-1（a＞1）的图象为曲线C，O为坐标原点，若P为曲线C上的任意一点（点P不与原点O重合），曲线C上存在点Q使得kOP·kOQ=1，则实数a的取值集合是________．
图3
我们根据两点P，Q的相对位置分两种情况思考：
（1）点P在原点左侧，点Q在原点右侧，连结OP，OQ，如图4．
此时kOP与kOQ的乘积为1，过原点的切线斜率为lna，仔细观察发现kOP＜lna，kOQ＞lna．
i）当a＞e时，lna＞1，kOP＜lna，而kOQ＞lna＞1，
不妨取点P0使kOP0∈（1，lna），则若存在Q0，必有，与kOQ0＞1矛盾．
图4
如：当lna=4时，取kOP0=2，与kOQ恒大于1矛盾，所以不成立．
ii）当a=e时，lna=1，kOP∈（0，1），kOQ∈（1，+∞），符合题意．
iii）当1＜a＜e时，0＜lna＜1，kOP＜lna＜1，则故在其取值范围（lna，+∞）内，符合题意．
所以当a≤e时，对于任意点P，都有一个与之对应的点Q使得kOPkOQ=1．
（2）点P在原点右侧，点Q在原点左侧，连结OP，OQ，如图5．
图5
此时kOP与kOQ的乘积为1，进行观察后发现kOP＞lna，kOQ＜lna．
i）当a＞e时，lna＞1，kOP＞lna＞1，kOQ=，故在其取值范围（0，lna）内，符合题意．ii）当a=e时，lna=1，kOP∈（1，+∞），kOQ∈（0，1）符合题意．
iii）当a＜e时，1＞lna＞0，kOP∈（lna，+∞），kOQ＜lna＜1，
取点P0使kOP0∈（lna，1），则若存在Q0使得，与kOQ0＜1矛盾．
所以当a≥e时，对于任意一点P都有一个与之对应的点Q使得kOPkOQ=1．
根据（1）（2）可得当且仅当a=e时，对于任意一点P（点P不与原点O重合），曲线C上存在点Q使得kOPkOQ=1．
终于探究完了，看着上面的详细分析与解答，很难想象，这是由我自己独立完成的．我很自豪，也很开心．
二、推广拓展
看着这题目，我是越看越喜欢，就想着是否可以推广，我相信，我找到的这个方法具有一定的普适性．
推广一：改变a的范围．
当0＜a＜1时，先去绝对值，在原点处作该函数图象的切线得到k=f′（0）=-1，如图6，从而得到．
图6
推广二：从指数函数推广到对数函数．
若将题目中的f（x）改为f（x）=|logax|（a＞1），先去绝对值，再作x=1处的切线得到k=f′（1）=1，如图7，从而得到a=e．
推广三：从已知函数推广到含幂函数y=xa的函数f（x）=|xa-b|（x＞0），
（1）a＞1，
图7
图8
（2）0＜a＜1，
（3）a＜0，
图9
如f（x）=|x-1-1|，a=-1．
对于此类带绝对值的函数，以转折点为直角顶点，另外两点分别在两段曲线上的题目，都可以先去绝对值，再用作切线的方法处理．在解决这个问题的过程中，思考时的紧张，探索时的专注，解决问题后的成就感和推广之后的满足感，无一不使数学学习充满乐趣．
