提高解题能力

陈权

摘 要：在人们的实际生活中经常会看到许多的圆形物体，这也使圆形成为人们最熟悉的图形之一。在对圆进行学习时，对于圆的切线的判定及证明是非常重要的，只有充分掌握“圆的切线”的证明方法及技巧，才能使日常生活中遇到的关于圆的问题得以有效解决。但对于圆的切线证明及判定问题来说，其也往往成为诸多学生在对圆进行学习时的一大难点问题。

关键词：圆 切线 半径 垂直

引言

近年来，数学学科的发展，使人们可以通过数学方法来解决实际生活中遇到的诸多问题。圆的切线的证明问题便是其中之一，利用数学方法来对圆的切线进行证明，能够帮助人们更好的理解圆的切线的定义、判定定理，进而熟练运用证明方法来对圆的切线问题进行证明，总结出证明圆的切线过程中的证法技巧，从而使其在解决类似问题时，能够根据证明结论来帮助人们对实际问题进行解决。

一、“圆的切线”的定义及判定定理

所谓圆的切线，是指在圆的任意边缘点中有一条直线通过该点，该点便可称之为公共点，而该直线由于通过了该公共点，因此可以视为该直线与圆相切，即直线为圆的切线，直线与圆之间的共公点又被称之为切点。由此可见，通过圆的切线的定义，我们可以直观的了解到圆与切线之间的关系，进而为我们后续对圆的切线问题的解决提供帮助。事实上，在对圆的切线问题进行解决时，学生必须要充分理解圆的切线的定义，才能使其在解决圆的切线问题时根据自己的理解能力来对已知条件进行分析，进而了解到圆的具体形状。而在实际问题解决当中，已知条件都是题目中给出的，为了便于学生对圆的切线问题的想象，许多几何问题都是提供具体的图形的，因此在对圆的切线问题进行证明时，可根据具体图形来对问题所涉及到的具体情况进行分析，以便于通过辅助手段来更好的解决问题。

二、“圆的切线”的两种情况及证明方法

从圆的切线的定义可以了解到，直线是经过圆的公共点的，而该公共点可以是圆形边界中的任意一点，该直线则通过该点与圆相接，由此说明直线是经过圆的半径的外端的，并且其和圆的半径是以相互垂直关系存在的，而该直线便是该圆的切线。依据上文中对切线的定义，并根据其判定定理，可将圆的切线问题的判定与证明按照三种情况进行划分，第一种情况是在题目中已经给出圆和直线之间的公共点，在对该类问题进行解决时，首先要把圆心和该公共点进行连接，这样便可构造出该圆形的半径线，然后便可根据该半径线证明其与圆的切线垂直即可。例如，两个圆为同圆心，圆心为O，AB切大圆于B，AC切小圆于C且与D、E相交，其中DE的长度为10，AB的长度为12，ctg BAO为 ，需要对这两个圆的半径进行求解。在证明该问题时，需要将OB和OC进行连接，由上述条件可以得知OB AB、OC AC，根据勾股定理可进一步求出这两个圆的半径分别是2 与9，进而证明了DE为两个同心圆的切线。

第二种情况是圆与直线之间的公共点并未在图中标明，在对这类问题进行解决时，由于不知道圆和直线之间的公共点在哪，因此有必要通过相应的辅助方法来找出圆和直线之间所具有的公共点，然后证明该点为圆与直线的公共点，在证明出该点为圆和直线的公共点以后，便可根据该公共点和圆的圆心来构造出半径线，然后采用第一种情况中的方法，证明该半径线与直线相垂直，便可有效解决圆的切线证明问题。例如，在Rt ABC中有一AC边为其直角边，以AC作为该圆的直径进行⊙O，其与AB的斜边相交，交点为D，其另一直角边中的E为其中点，则证明⊙O中的切线为DE。在证明该问题时，需要将OD进行连接，由于⊙O的直径为AC，因此 ADC与 BDC的角都是相等的，均为直角，因为BE与EC的长度相等，因此DE的长度为BC长度的一半，因此 1与 2相等。由于OD与OC的长度相等，所以 3与 4的长度相等，因此 ODE为 1与 3的和或 2与 4的和相等，其与 ACB的角度均为直角，所以可以证明⊙O的切线为DE。

通过对以上两种情况的证明方法进行阐述，可以帮助学生更好的实现对圆的切线问题进行证明，事实上，在对圆的切线问题进行证明，以上两种情况包括了所有不同的圆的切线证明类型，不过在对圆的切线问题进行证明时，学生仍旧需要更加用心，充分了解题目具体属于哪种情况，然后再采用相应的证明方法来对该题目进行证明，这样便可得到相应的答案。

三、“圆的切线”的证法技巧及教学建议

通过对上述三种情况的圆的切线证明问题进行分析，可以总结出以下的证法技巧，对于第一种情况，可以将其总结为：当圆与直线之间存在公共点时，解题需要先将该圆的圆心与公共点相连，以此构建相应的半径线，并对半径线与切线之间的垂直关系进行证明，进行简化可以缩减为十个字，即有公共点、构造半径、证垂直。对于第二种情况，可以将证法技巧总结为：利用辅助方法对直线和圆之间的公共点进行证明，并利用第一种情况的证明方法进行解决，进行简化后可以将其精简为十一个字，即找公共點、构造半径、证垂直。对于第三种情况，其证法技巧可以总结为：构造直线的垂线，使垂线经过圆心，并证明该垂线与圆的半径相等，可将其精简为十一个字，即无公共点、作垂直、证半径。通过对上述三种情况的证法技巧进行总结可以了解到，在对圆的切线问题进行解决时，首要步骤便是要对圆的切线证明问题的类型，即属于哪种情况进行确定，然后根据其具体情况采用相应的证明方法，而通过证法技巧的总结，能够有效帮助学生更好的掌握这些证明方法，并根据证法技巧的口诀来对证明方法的要点进行记忆，从而在对问题进行证明时，能够根据记忆的口诀来对圆的切线问题进行证明，提高学生的解题能力。由此可见，对于学生来说，掌握有效的证法技巧，将更有助于帮助学生证明圆的切线问题。鉴于此，本文提出以下教学建议，以期能够帮助学生有效掌握圆的切线问题的证法技巧，首先，在对圆的切线问题进行教学时，教师可利用多媒体工具将圆的切线证明问题的类型及常用证明方法进行列出，使学生能够掌握常用的证明方法与常见的圆的切线证明问题的三种类型，并对证明方法进行简化，使其浓缩为易被记忆的口诀，使学生能够充分理解口诀中的相关要点，并按照要点进行解题。

结语

总而言之，对于圆的切线的证明问题来说，其是初中阶段数学教学的重要内容之一，也是学生对圆的学习的难点所在。因此，在对圆的切线证明问题进行教学时，必须要引导学生对圆的切线证明问题的类型进行确定，使其能够明确该问题具体属于哪种情况，并根据该情况所提出的相应证明方法，牢记证明方法中的口诀与要点，从而使学生能够更加有效的对该类问题进行解决，提高学生对圆的证明问题的解题能力。