数形结合思想在三角函数问题中的应用研究

庞曾惠

【摘 要】数形结合思想最根本的内涵就在于紧密结合图形与相关数据，进而给出直观性较强的数学解题思路。在目前看来，对于三角函数领域的较多问题都能够借助数形结合的方式予以解答。与僵化的三角函数题目分析进行对比，运用数形结合更加有助迅速深入此类数学问题的根本，并且缩短了解答此类问题消耗的时间。由此可见，关于解答三角函数问题有必要紧密结合数据图形，据此达到活化解题思路的目标。

【关键词】数形结合思想；三角函数问题；具体应用

【中图分类号】G632 【文献标识码】A

【文章编号】2095-3089（2019）03-0036-01

三角函数问题构成了数学学科的关键问题，然而与之有关的解题思路也表现为繁琐性与复杂性。与此同时，三角函数问题涵盖了与之有关的很多数学公式与数学定理，以至于显著增大了解答此类数学题的难度[1]。因此为达到简化三角函数问题的宗旨与目的，则有必要将数形结合的思路巧妙渗透于其中。通过灵活引进数形结合的数学思维，就可以创建直观化的三角函数解题模式，避免陷入此类问题的分析误区中。

一、数形结合思想的基本内涵

数形结合的核心与宗旨在于结合数学图形与相关的数字信息，从而达到了直观剖析某些数学难题的目标。因此与僵化的数学分析思路予以对比，可以得知运用数形结合手段体现为独特的数学分析优势。这主要是因为，各类数学问题通常都要建立于相应的数学图形之上[2]。反之如果脱离了数学图形作为直观分析的支撑，那么整个数学问题就会陷入僵化的分析中。由此可见，数形结合思想本身具备不可忽视的灵活性与实效性特征，关于此类数学思想应当着眼于灵活加以利用。

具体在实践中，关于数形结合思维应当致力于综合性的数学解题运用。例如针对三角函数的有关数学问题来讲，此类数学问题通常呈现较大的数学分析难度。究其根源，就在于三角函数领域牵涉较多的公式与定理，因此表现为显著的综合性[3]。但是如果能将目前面对的三角函数问题加以灵活转变，并且借助数学图形作为必要的辅助，那么将会达到显著简化分析流程的效果，并且有助迅速深入此类问题的根源。因此，三角函数问题以及数形结合思想应当能够紧密衔接，如此才能构建更为直观的数学学科思维。

二、关于三角函数问题全面运用数形结合思路的要点

从本质上讲，各类数量关系都可以被转变成相应的数学图形。与此同时，数学图形本身也蕴含了直观性的数量关系。在此基础上，数学图形以及数量关系二者具有密不可分的内在联系，在解答或者分析各类数学题时也要秉持数形结合的宗旨与思路。通常来讲，各种数量关系都蕴含了特定的几何意义，针对上述数量关系就要将其纳入图形分析的视角下予以观察，并且探寻相应的数学分析思路。因此在实践中，对于三角函数问题有必要关注如下的数形结合要点：

1.确保数量关系与图形之间能够实现灵活转化。

通常来讲，关于数形结合有必要将其分成由数量转化至图形以及由图形转化至数量关系的两种分析思路。在上述的两类思路中，由图形转变成数字的思路重点针对于既定的几何图形，针对该图形予以详细观察，并且针对其中隐藏的某些数量关系予以精确的揭示[4]。因此可见，上述数学思路可以用于剖析内在的几何图形基本属性。与之相比，由数量关系转变成数学图形的分析思路则侧重于自主绘制图形，从而借助数学图形来呈现并且描述抽象性的某种数量关系，并且针对数学公式的本质予以全面揭示。在实践过程中，关于上述两类转化思路都要着眼于灵活运用，确保达到灵活性较强的数学分析思维。

例如：已知函数f（x）=tanx，x∈（0，π2），若x 1，x 2∈（0，π2）且x 1≠x 2，判断12[f（x 1）+f（x 2）]与f（x 1+x 22）的大小关系。

解析：在直角坐标系中作出函数f（x）=tanx，x∈（0，π2）的图象如图示：

在图中，f（x 1+x 22）表示线段A 1B 1的中点处C 1的函数值，即图中C 1D的数量，12[f（x 1）+f（x 2）]表示梯形AA 1B 1B的中位线C 1C的数量，原问题转化为有向线段C 1D与C 1C数量的大小关系。由图像可明显看出，点C的纵坐标比点D的纵坐标要大，所以12[f（x 1）+f（x 2）]>f（x 1+x 22）。

2.在求函數最值时运用数形结合手段。

求最值问题构成了三角函数领域中的典型难题。在多数情形下，针对三角函数都会已知某个区域内的函数式，然后要求求出该区域内的三角函数最值。因此可见，上述求值域的做法类似于定义特殊的三角函数，因此应当紧密结合特定的函数图像来予以解答。在数形结合手段的辅助下，应当能描述精确的三角函数关系，从而简化了寻求函数最值的综合难度。

例如：如果x∈[-π4，π4]，那么函数y=cos2x+sinx的最小值是多少？

解析：y=cos2x+sinx=-sin2x+sinx+1

此类求三角函数最值的题目对学生来说是一个较难的题型，也是一个比较陌生的问题，如果仅限于抽象判断，则无法迅速求出上述的最小函数值，如果把数和形结合起来，画出相应的图像，从几何的直观性入手，则可立刻看出结论。

令t=sinx 因为x∈[-π4，π4] 所以-22≤sinx≤22

则y=-t2+t+1=-（t-12）2+54 （-22≤t≤22） 图像为图中实线部分。

所以当t=-22即x=-π4时，f（x）有最小值，

且最小值为y min=-（-22-12）2+54=1-22。

3.简化三角函数的分析难度。

三角函数不仅构成了数学领域中的要点，并且还具有相对较大的数学分析难度。因此为了简化分析难度，那么通常就要将函数图像作为直观观察的凭借。只有运用直观性的图像观察方法，才能迅速深入该函数问题的本质所在，而不至于在此过程中耗费过多的数学分析时间。因此在实践中，如果遇到复杂程度较高的三角函数难题，那么不应局限于单纯的题干解析，而是要将其灵活转变成有关的三角函数图，并且善于借助几何图像来呈现数量关系。

例如：计算sin20°-sin40°cos20°-cos40°的值。

解析：对于给出的式子若要予以直接计算，则会涉及较大的计算量，并且运算流程也是相对繁琐的。但如果仔细观察这个式子则不能发现，这个形式和计算直线斜率的公式很像。所以，我们可以把它当做计算经过点A（cos40°，sin40°）和点B（cos20°，sin20°）的直线的斜率。利用数形结合，进而巧妙地进行解答。解题图示：

在单位圆中，∠BOM=∠BOA=20°，且OA=OB=1，所以∠OAM=80°，于是，∠OMA=60°，即直线AB的倾斜角为120°，其斜率为tan120°=-3

即sin20°-sin40°cos20°-cos40°=-3

结束语

经过上述分析可见，关于三角函数领域的各类问题解答都不能欠缺数形结合的思路作为支撑。三角函数问题一般来讲都会包含相应的函数图像，通过观察此类图像来剖析三角函数题的实质，然后获取正确的函数分析思路。因此在实践中，关于解答三角函数类的典型问题仍然需要归纳运用数形结合思路的经验，据此达到深入剖析三角函数类数学问题的目的，塑造直观性的数学分析思维。

参考文献

[1]朱萍.浅谈数形结合思想在“三角函数图像”教学中的应用[J].数学学习与研究，2017（21）：116.

[2]马赋.数形结合思想在三角函数教学中的应用[J].甘肃教育，2017（20）：104.

[3]彭松芝.数形结合的思想在解三角函数中的应用[J].数学学习与研究，2013（19）：95.

[4]李海平.数形结合思想在解决函数问题中的应用[J].高中数学教与学，2013（12）：40-41.

[5]王秀艳.数形结合思想在二次函数问题中的应用[J].中学数学，2012（10）：17-18.