解析几何中数形结合思想运用的三个途径

文／张红红

解析几何的实质是通过建立坐标系，用代数方法研究几何问题.数形结合正是解决解析几何问题的一种重要的数学思想方法，主要分为两条思维可逆的主線：第一，将代数问题几何化，即以形助数，运用图形的几何性质来解决问题：第二，将几何问题代数化，运用代数特征进行运算来解决问题，即以数助形.当然，数与形并不是孤立的，常常在一道题中既有数向形转化，也有形向数转化，两者相得益彰.

一、形向数转化——重在代数运算

以数助形，突出问题的代数特征，通过合理简捷的运算来解决问题，思维量不大，但是对代数运算能力要求较高.这类题型体现了用代数方法研究解析几何问题，是最基本的题型.

小结 线段的长度和三角形的高是“形”，由两点间的距离公式和点到直线的距离公式得到的代数式是“数”，设出动点Q的坐标后，就可以将形转化为数，利用基本不等式得到定值，

二、形与形互化——重组几何量

突出问题的几何特征，通过几何量的重新组合，思维量较大，常常需要融入等量代换等化归思想.这类题型的理解层次较高.

例2已知A（1，1）为椭圆 内的一点，F，为椭网的左焦点，P为椭圆上的一动点，求PF1+PA的最大值和最小值.

分析 解这道题常有三种思路.思路1：设点P的坐标为（x0，y0），由F1（-2，0），A（1，1），将几何量PF1+PA表示成接下来求该式的最值时考生往往会陷入困境.思路2：由PF1+PA≥AF1，即三角形的两边之和大于第三边，当点P落在线段AF1上时等号成立，此时PF1+PA取得最小值.可是P为椭圆上的一动点，无法落在线段AF1上，所以常规思路受挫.思路3：PF1为焦半径，不妨通过椭圆的定义将其转化成2a-PF7，即6-PF2，则原式转化为PFi+PA =6+PA-PF2，再通过三角形的两边之差小于第三边来求解.

解 由题设可得a=3，6=5，c=2，左焦点F1的坐标为（-2，0），右焦点F2的坐标为（2，0）.