用数形结合思想解决三角函数问题

李志勤 张凤国

三角函数题可以利用的图形一般有两类，即函数的图像和三角函数线.利用数形结合思想解题，有利于分析题目中的数量之间的关系，引发联想，启迪思维，拓宽思路，迅速找到解决问题的方法，从而提高发现问题和解决问题的能力.

一、比较大小

例1 已知A∈（O，π），则a，sin a，tan a的大小关系是

A.sin a

B.a

C.tan a

D.tan a

分析 由题意作出三角函数线，通过三角形的面积以及扇形面积的大小比较，可得三者的大小关系.

解在平面直角坐标系中，结合单位圆作出锐角a的正弦线和正切线，如图1所示.设AP=

小结 本题考查了三角函数线，也考查了数形结合思想与转化思想的应用，解题的关键是先表示出三部分的面积，利用面积的大小关系，将其转化为三角函数线和弧的长短问题进行求解.

二、解不等式

例2若a∈（0，2π），则符合不等式sin a>cos a的“的取值范围是____.

分析 设“的终边与单位圆交于点P（x，y），则y=sin a，x=cos a，进而可将sin a>cos a转化为y-x>0，利用三角函数线知识及a∈（0，2π），可得a的取值范围.

解设a的终边与单位圆交于点P（x，y），则y=sin a，x=cos a.由题设可得sin a-cos a>0，即y-x>0，满足条件的a的终边落在图2的阴影部分.又a∈（0，2π），所以a∈（ ）.

小结 本题考查的知识点是三角函数线，熟练掌握三角函数的定义是顺利解答本题的关键.

三、求函数的定義域

例3利用三角函数线求下列函数的定义域.

分析 分别由根式和对数有意义的性质，结合三角函数线进行求解.