抽屉原则

李秋月

摘要：本文简单阐述了抽屉原则的简单形式，以及衍生出来的各种方便计算的推广形式，主要介绍了抽屉原则在初等数学第一阶段，第二阶段当中的应用以及衍生的简便运算，着重强调了抽屉原则在生活当中的应用，巧用小定理解决大问题。

关键词：抽屉原则;初等数学;应用

一、抽屉原则的形式

谈到学生的教育问题，一度风靡一时的一档湖南台综艺《爸爸去哪儿》相信大家都不陌生，在这部综艺当中多次出现一个游戏——抢凳子，这个游戏的规则非常的简单，假设场中有7个人，那么场中放置6个凳子，音乐响起，大家随着音乐舞动，当音乐停止的时候，大家开始争抢凳子，没有抢到椅子的人淘汰，随即进行下一轮游戏，依次重复，直至场中只剩下一个人坐在凳子上，这个人即为获胜者。作为一个数学学习者，不仅要习惯用数学知识去解决生活中遇到的的实际问题，同时也要学会用带有数学的眼光去看待生活中的各种相关事务，抢凳子虽然是生活中一个寻常的小游戏，但实际上体现了数学中一个重要的解题思想——抽屉原则。

200年前的16世纪，抽屉原则由德国书著名数学家狄利克雷（P.G.T.Dirichle）正式命名，因此抽屉原则在使用的时候也可以被称为狄利克雷原理。抽屉原则可以简化概括为以下内容：

“有十双鞋，但是现在只有九个鞋盒，那么必定会有一个鞋盒当中放有两双鞋”，这一生活中常见的现象，就可以体现抽屉原则的主要内容。如果将每一双鞋看成一个元素，每一个鞋盒看成可以放置元素的集合。那抽屉原则就可以表述为：“如果将n+1个元素放到n个集合中去，那么至少有一个集合里会含有不少于两个元素。”

从上文的表述中可以就可以看出来，抽屉原则的应用非常广泛，不仅仅可以应用于数学当中，在生活中抽屉原则同样也发挥着重要的作用。本文主要从抽屉原则的简单表述入手，浅谈抽屉原则在初等数学以及在生活中的应用。

数学知识并不是一成不变的，随着社会的发展和历代科学家的探究，抽屉原则衍生出很多推广形式，例如在组合数学当中由陈景林、阎满富编著可以称为里程碑式的作品《组合数学与图论》对现阶段抽屉原则的应用就进行了概括，分类为以下三种形式：“

原理1.把多于n个的元素按任一确定的方式分成n个集合，则一定有一个集合中含有两个或两个以上的元素;

原理2.把m个元素任意放到n（m>n）个集合里，则至少有一个集合里至少有k个元素，其中

原理3.把无穷个元素按任一确定的方式分成有限个集合，则至少有一个集合中仍含无个元素[1]。”

随后，卢开澄又将抽屉原则（书中称为鸽巢原理）进行推广，正式表述在《组合数学》（第三版）：“

鸽巢原理：設k和n都是任意正整数，若至少有kn+1只鸽子分配在n个鸽巢中，则至少存在一个鸽巢中有至少k+1只鸽子。

推论1.有m只鸽子和n个鸽巢，则至少有一个鸽巢中有不少于+1只鸽子。

推论2.若将n（m-1）+1个球放入n个盒子里，则至少有一个盒子有m个球。

推论3.若m1， m2…mn是n个正整数，而且r=，则m1， m2…mn中至少有一个数不小于r。[2]”

二、抽屉原则在数学当中的应用

2.1抽屉原则在初等数学第一阶段中的应用

抽屉原则在初等数学中的应用比较朦胧，并不时以专门的定理公里的形式正式出现在教材中，初等数学的学习，主要是使学生开始接触、学习、能简单掌握数学这门学科的思维，重点是强调从生活中看数学，以数学知识解决生活中的实际问题，可以说整个初等数学的学习过程是一个从生活中具体实物到初步的数学语言，从实际问题到简单问题数学问题的过程，教师主要的教学目标是使学生掌握基础的数学运算，能理解完成简单的数学问题，因此对于抽屉原则这一抽象性数学思想并不做具体讲解，抽屉原则一般只能在一些拔高练习册或者是试卷的附加题上见到，且此时表述尚不明显，教师对也不会明确指出，此时的学生还不具有独立分析问题的能力，因此抽屉原则在初等数学第一阶段的应用尚不明朗，例如班级里有17为同学，分为四组做游戏，那么必有一组是至少有5个人。在解决这类问题的过程中，并没有系统的公式，也不是传统的求总和，平均分等等，只要求学生可以将正确答案的思路完成的表述出来，然而这恰恰是处于数学入门学习阶段的同学的弱项，我们可以采用建立模型，分门别类的来解决这样的数学问题。

模型一：至少......有....的问题

例1.蓝天小学二年级四班共有学生25人，那么班级里一定有三个人是相同的生肖。

证明：众所周知，我们共有生肖12种，将12各生肖看成12个小组，将25人平均分成12组，25÷2=2…1，每组两个人，剩余一人，也就是说必有一个小组是3个人，命题得证。

分析：这种类型的题目，在初等数学当中多数以附加题或者是脑筋急转弯的形式出现，教师在讲授这样的题目，一般是分析问题，采用学生能理解语言解释答案，并不会具体讲解用了什么样的数学思想，学生只是知其然，而不知其所以然，因此只有部分同学在脑海中有大致朦胧的思路。实际上，在本题的是抽屉原则应用的一个非常鲜明的例子，25位同学相当于25个元素，而12个生肖则相当于12个集合，此时问题即转化为平均分配的问题，将25个元素平均分入12个集合，剩余的一个与元素可以任意进入其中一个抽屉当中，因此，至少有一个抽屉当中有3个元素，命题得证。

2.2抽屉原则在初等数第二阶段的应用

当同学进入中阶段，随着学生能力的提升，抽屉原则应用的范围也随之加大，此时抽屉原则的应用主要分别两个方面，一方面是教师应用抽屉原则对书本上的定理，公理加以解释，使学生对所学知识能掌握的更加的融洽，另外一种情况是同学进入中学阶段，各种数学竞赛层出不穷，对于有能力接受完整系统的抽屉原则的同学，教师会对其加以详细的讲授，以提升学生的能力。无论是哪种情况，从教学大纲规定的所学知识的层面考虑，抽屉原则仍然可以归属为“课外知识”，需学生自身具有较强的归纳总结的能力，才能融汇贯通，但由于中学课业任务较大，笔者建议学生只需要掌握基本的抽屉原则的思想即可。

例2.证明.任意给定五个正数，一定存在从里面选定三个数，这三个数的和能被3整除。

证明：无论任何数，被3整除都只能存在三种情况：被3整除、不能被3整除，余数为1;不能被3 整除，余数为2。因此根据余数的不同，构造出P、Q、M三个抽屉。

1.若将五个数填满是三个抽屉，无论怎样放置，只有保证各个抽屉中都有元素存在，从三个抽屉中各拿出一个元素来，因为余数为1、2，而1、2相加之和能被3正数，因此三个数之和也能被3整除，此种情况成立。

2.若五个数只能分布在两个抽屉里，由抽屉原则可知，一定存在这种情况，有一个抽屉含有三个元素，无论是存在哪个抽屉当中，因为余数相同，三个数之和一定为的倍数，因此三个数之和也能被3整除，此种情况成立。

3.若将五个数放入统一个抽屉里，同上述情况2，余数相同，三个数之和一定为的倍数，因此三个数之和也能被3整除，此种情况成立。

综上所述命题成立。

三、抽屉原则在生活中的应用

在生活中人事选定、物品分配、事项安排、评定职位等等都可以发现抽屉原理的规律，由此可见，抽屉原理不仅广泛应用于数学研究中，在我们的实际生活中，抽屉原则的巧妙使用对于社会的发展也起到了重要的推到作用。

依照风靡一时的古装剧《芈月传》的情节发展，导致秦国政治分崩离析的主要原因是“七公子之乱”，惠后为了推举无名无分却听其命令的一位皇子为王，召集诸位皇子进宫，宴会上宦官进献三个晶莹剔透的“仙桃”，一个由惠后品尝，一个给了王叔樗离子，另外一个，惠后说应该给最优秀的皇子，大殿之上诸位皇子为了争抢所谓的“仙桃”证明自己是最优秀的皇子，而大打出手，导致“七公子之乱爆发”。

获得飞天奖最优秀电视剧的作品《琅琊榜》中有片段，梁国与楚国联姻修好，梁国靖王不想娶异国公主连夜求助智者，智者回答楚国人最信占卜之术，若不想与之婚配，只要“八字不合”即可，时至今日，仍有些人对星象之术即“算命”深信不疑，所谓算命就是把一个人的的出生年、月、日作为基数，带入特定的算法，将得出的结果根据一定的依据得出一个人所谓的“命数”，实际上，按照中国的12生肖，共有抽屉12×360×60=259200个，，把人看做是要放进抽屉的物品，抽屉的总数是固定的，而人在不断的演变，社会在不断的进步，橘生淮南则为橘，生于淮北则为枳，貌相同，而味不同也，世事无常，又怎么能以单純的“八字”来定论一个人的命数呢？

四、总结

抽屉原则虽然在我们学习的课本中没有完整明确的表述，但它在数学的学习当中是不可避免的。我们学习一条定理，不仅仅要明确它的含义，懂得应用定理解题的方法，更要了解他所蕴含的思想，只有全方位的掌握他本身所具有的知识，才算学会的定理。知识的学习不应是简单的背诵，也不是会解题只了解皮毛，应该做到融会贯通，最终提高我们的数学素养。本文举例介绍了抽屉原则在数学几个学习的阶段的简单应用，仍然比较片面，抽屉原则产生距今已经有200多年的历史了，不仅仅是在数学当中，在物理等学科以及在人们的日常生产生活中发挥着重要的作用，需要我们不断进行学习和探索。

参考文献：

[1]陈景林，阎满富.组合数学与图论.北京中国铁道出版社出版，2000.04

[2]卢开澄.组合数学（第3版）.北京清华大学出版社，2002.07

[3]濮安山.“高等代数中抽屉原理的应用”.《哈师大自然科学学报》，2001.06

[4]王向东，周士藩等.高等代数常用方法[M].1989.11.

[5]杨子胥.近世代数.北京.高等教育出版社.2003.12