数学的形式化特征及其在物理中的应用研究

刘思千

摘要：物理和数学是现代科学体系中最基础的两门学科，物理是对客观存在的事物和事物的运动规律进行研究，数学是研究空间结构、数量变化的一门科学，也是进行其他学科研究的基础。数学由于其具有符号化、公式化和程序化的形式化特征，被广泛应用于物理研究和物理学习中。

关键词：数学；形式化特征；物理

一、数学的形式化特征

任何事物都具有内容和形式两部分。数学形式化特征指的是用特定的数学语言来描述形式与内容的某些特征。形式化是数学的基本特征之一，即用特定的数学语言包括图像，符号和文字，来表现空间结构和数量关系[1]。数学的形式化即符号化，公式化，程序化。符号化是指将复杂的数学概念，用简短、准确的符号来表示。公式化指的是数量之间的某种关系，通过运用符号形成准确的关系式来表示。程序化是指解决数学问题有模式可以遵循。且形式化具有相对固定样式的数学结论、法则、概念，它具有以下特点：

（1）稳定性

数学结论、法则、概念等内容一旦成为“形式”，就不会因环境、条件的变更而发生变化，具有相当的稳定性。

（2）概括性

数学形式是无数具体事物经抽象概括的结果，应该是研究数量关系或图形本质属性的反应。例如用公式概括总结数量之间的关系。

（3）简洁性

往往东西越简单就越是深刻，越简洁的东西就越具有生命力，越具使用价值。数学形式就以其表述方式的简洁而称道，公式因其简短，更容易让学习者掌握。

（4）广泛性

数学形式的概括性决定了它具有广泛性，可真正达到华罗庚教授所说的“数学是一个原则，无数内容，只需一个方法，却到处有用。

（5）可操作性

按照相关数学形式进行的程式化操作可称为行为模式。人的行为模式有两种，一种是需要智力投入、思维参与的行为模式；一种是较少需要智力投入、思维参与的行为模式。在数学学习和解决数学问题的所有活动中，创造性思维的含量只占少部分，运用更多的是程式化的操作。这种操作讲究的是熟练、准确、快速、高效。学生大多数解题是按既定法则进行模式化操作。即使是难度较大的需要一定的创造思维，但创造的“根”仍然扎在坚实的基本数学形式的土壤中。基本数学形式是创造的源泉与原型。当然，即便进行的是简单化、机械化、程序化的操作，也要在其中努力加大智力与思维的含量。

二、数学的形式化特征在物理研究中的应用

1.模拟实验研究

许多物理问题由于条件的限制或问题的复杂，无法直接对其进行研究。而在这种情况下，模拟替代是一种重要的研究方法[2]。法拉第在进行电磁场规律研究时由于受到数学知识的限制，无法将物理问题转化为数学问题，找到相应的数学建模，对物理对象进行用数学语言将自己的成就表述出来。虽然提出了“场”的概念，并且内容系统的分析和综合，对对象进行诠释和预测，是解决物理问题的最有效途径。这既要求对物理基本概念和规律有正确的理解，又要求对数学的形式化特征熟练掌握。综上，物理学研究中，数学方法是一种有效的进行推理和逻辑证明理论和技巧。

例如静电场的模拟设计。

有些电学仪器，需要特定的电场，使带电粒子在其中做特定的运动。而在实际测定的时候由于很难直接测定静电场中各点的电场强度和电势，实际设计时通常采用模拟的方法进行研究。

无电荷分布的空间（真空）中的静电场的电势ψ满足方程

①

不含电源的各向同性均匀导电介质中的稳恒电流场的电流密度j满足

②

电流密度j与电场强度E的关系为

③

电场强度E与电势ψ的关系为

④

由②③④三式同样得到①式。

可见，运用数学的办法解决物理问题十分方便。

2.探索未知领域

物理探索中，如果发现新的物理现象与已知的物理现象，在某种对应的属性上具有相同的数学特征，则它们所遵循的物理规律可能具有相同的数学结构。

例如静电力与万有引力。

牛顿曾用数学方法证明：如果平方反比定律有效，质量均匀分布的均匀球壳对其内部的物体没有引力作用，而且任何不满足平方反比关系的力都不会有此结果。普利斯特立即大胆的作出假设：电荷间的相互作用与万有引力一样，也遵循平方反比规律。经过大量的实验研究和证明，在1785年确定了库仑定律：

而地面上物体所受的万有引力大小为

三、数学的形式化特征在物理学习中的应用

1.引导学生从数学角度理解物理知识

显然，引导学生从数学角度理解物理知识对强化其数学应用意识有着显著促进作用。物理源于生活，物理学的大多数定律都是建立在对客观事物或普遍现象的观察基础之上，进而通过借助相关数学知识而最终得出的。也就是说运用数学的方法对其进行计算、分析、研究，然后以数学的语言将其表達出来，形成物理公式。可以说，数学在这一方面展露无遗。

总之，实际当中应当善于引导学生在物理概念、原理和规律的学习中渗透数学知识，结合数学理解物理。这样才有助于学生更好的理解所学物理知识，更有利于强化其数学应用意识。

2.解决物理问题的好帮手

物理解题中涉及到的数学形式化特征的地方有很多，最常见的如函数换元、数列、排列组合、三角函数等。例如函数换元：在解答一些物理计算题时，复杂运算的涉及是常见现象。函数换元的鲜明优势在于其能使运算大大简化，而且实际上出题人在很多时候也考虑到了函数换元的应用，并设置了巧妙的应用角度和切入点。因此学生必须要切实掌握 此方法并在解题过程中注意观察，灵活运用[3]。

例如：分别位于A、B两地的王同学和章同学相向而行，两人均可看作匀速直线运动，王同学比章同学晚出发5分钟，但在两人相遇时却比张同学多走了600米。从相遇的一刻算起，章同学10分钟后到达B地，王同学3分钟后到达A地。试求AB两地之间的距离。

分析题设后我们可设当两人相遇时的位置距离A地为x，则王同学的速度为x/3；张同学相遇后还需走x+600，其速度为（x+600）/10，于是可列方程：x/[（x+600）/10]=（x+600）/（x/3）+5，将x/（x+600）用字母Y代替，计算量一下子减少很多，这就为快速准确的计算出最终结果提供了保障。

四、结束语

数学的形式化特征为符号化，格式化，程序化，将其运用于物理研究和学习中可以简化步骤，方便运算。并且在此研究中我们可以得出，由于数学的形式化特征，在两个物理必象中，如果有相同的数学结果，则可能得出相同的数学结构；如果有相同的数学结构，则必定有相同的数学结果。

参考文献

[1]王怀琴.略论数学方法在高中物理解题中的应用[J].考试周刊，2010（41）.

[2]钟赣萍.数学知识在高中物理解题中运用的几点思考[J].理科考试研究，2014（7）.

[ 3] 林辉庆.高中物理的数学基础与方法[M].杭州：浙江教育出版社，2016.

（作者单位：西安高新唐南中学）