“分 式 方 程”中典型错解举例分析
2019-03-28李青
李 青
分式方程是初中阶段重要的知识点之一，它是整式方程的拓展与延伸，但是分式方程的相关运算与整式方程相比较，运算步骤繁复，解题方法灵活多样，在学习和运用的过程中更容易出错。下面就分式方程中易混、易错的地方加以举例剖析，希望对同学们的学习能够有所帮助。
一、对分式方程的概念理解不透
例1下列各式是分式方程的是 。
【错解】②③。
【剖析】这一题出现错误主要是因为对分式方程的概念理解不透。分式方程要满足两个条件：（1）必须是一个方程；（2）分母中要含有未知数。而③式只是一个代数式，并不是一个方程，所以③不是分式方程；对于1，由于约分后的结果是一个整式方程，所以许多同学认为它不是分式方程，其实判断一个方程是不是分式方程，一定要看它约分前的特征，所以④是分式方程。
【正解】②④。
二、解分式方程时，忘记验根
例2解方程：
【错解】方程两边同乘（x+2）（x-2），得（x-2）2-（x+2）2=16。解这个方程，得x=-2。所以x=-2是原方程的解。
【剖析】方程两边同乘值为0的代数式，便产生增根。这一题错解的原因是忘记验根。当x=-2时，（x+2）（x-2）=0，所以x=-2是增根，原方程无解。
【正解】方程两边同乘（x+2）（x-2），得（x-2）2-（x+2）2=16。
解这个方程，得x=-2。
检验：当x=-2时，（x+2）（x-2）=0，x=-2是增根，原方程无解。
三、分式方程去分母时，整式部分易漏乘公分母
例3解方程
【错解】方程两边同乘（x-3），得：
x-2=-1-2。
解这个一元一次方程，得x=-1。
检验：当x=-1时，x-3≠0，所以x=-1是原方程的解。
【剖析】这一题去分母时，违反了等式的基本性质，常数项-2漏乘了公分母（x-3）。
【正解】方程两边同乘（x-3），得：
x-2=-1-2（x-3）。
四、去分母，分子是多项式时漏加括号
例4解方程
【错解】方程两边同乘3（x-3），得2x+9=12x-7+6（x-3）。
【剖析】去分母时，若分式的分子是一个多项式，应将多项式用括号括起来。这一题的错误在于未把分子上的4x-7用括号括起来。
【正解】方程两边同乘3（x-3），得：
2x+9=3（4x-7）+6（x-3），
解这个一元一次方程，得x=3。
检验：当x=3时，3（x-3）=0，x=3是增根，原方程无解。
五、分式方程化简时，错用分式的基本性质
例5解方程
【错解】化简，得
方程两边同乘（x-9），得x+4=2（x-9）。
解这个一元一次方程，得x=22。
检验：当x=22时，x-9≠0，x=22是原方程的解。
【剖析】此题化简时用到分式的基本性质。分式的基本性质是分式的分子和分母都乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。这一题是分子乘2，而分母乘3，所以分式的值发生了改变。
【正解】化简，得
方程两边同乘（2x-18），得3x+12=2（2x-18）。
解这个一元一次方程，得x=48。
检验：当x=48时，2x-18≠0，x=48是原方程的解。
六、分式方程“有增根”和“无解”易混为一谈
例6当m为何值时，分式方程=0无解。
【错解】方程两边同乘（x+2）（x-2），得：
2（x+2）+mx=0。
解得m1=-4，m2=0。
【剖析】“分式方程有增根”是指去分母后的整式方程的解使得分式方程的最简公分母为0。而“分式方程无解”的原因有两个：一是去分母后的整式方程无解；二是整式方程的解使得分式方程的最简公分母为0。分式方程“有增根”是“无解”的一种情况。这一题错把分式方程无解默认为是分式方程有增根了。
【正解】方程两边同乘（x+2）（x-2），得：
2（x+2）+mx=0。
①当x=2或x=-2时，
解得m1=-4，m2=0。
即：m=-2时，分式方程无解。
所以当m1=-4，m2=0，m3=-2时，分式方程无解。
七、求分式方程中字母的取值时，易忽略分母不为0
例7已知关于x的方程的解为正数，求m的取值范围。
【错解】方程两边同乘（x-3），得：
x=2（x-3）+m。
解这个一元一次方程，得x=6-m。
由原方程的解为正数，得x＞0，即6-m＞0。
解得m＜6。
所以当m＜6时，原方程的解为正数。
【剖析】解决这种问题时，不仅要考虑“方程的解为正数”这个条件，还要考虑x-3≠0这个隐含的条件。这一题的错解就忽略了x-3≠0这个隐含的条件。
【正解】方程两边同乘（x-3），得：
x=2（x-3）+m。
解这个一元一次方程，得x=6-m。
由原方程的解为正数，得x＞0，即6-m＞0。
解得m＜6。
又因为x-3≠0，得x≠3，即6-m≠3。
解得m≠3。
所以当m＜6且m≠3时，原方程的解为正数。
小试牛刀
【参考答案】
1.原方程无解。
