关注例题拓展 增强数学素养

郑金华

数学素养中的“运算能力”“符号意识”等要求与“数与式”领域是紧密联系的。如何抓住本单元中的典型例题总结规律，从而进行延伸与拓展，这对同学们来说是非常值得研究的。

一、提升数学“运算能力”

在平时的学习中，一方面，老师会让同学们整体感知数学运算，熟练运用运算法则开展适度、适量的训练；另一方面，我们在训练的同时，应更多地去关注对算理的理解。下面，我们为同学们提供一些经典例题，希望同学们能结合具体的数学运算，研究其中的运算原理。

1.对数学运算“法则”的理解。

例2计算：（3a2-ab）-（5ab-4a2+7）。

【解析】原式=3a2-ab-5ab+4a2-7=7a2-6ab-7。

例1是一道“数值”计算，例2是一道“代数式”计算。“数值”计算过程比较直观，结果是一个数值，非常具体；引入字母的“代数式”所进行的计算比较抽象，结果还可能是一个没有实际意义的“符号串”，如例2的运算结果。

2.对数学运算“算理”的理解。

例3甲地的海拔高度为32米，乙地的海拔高度为-18米，则两地的高度相差多少米？

【解析】32-（-18）=32+18=50（米）

答：两地的高度相差50米。

例4全班学生分成5个组进行游戏，每个组的基本分为100分，答对一题加50分，答错一题扣50分，游戏结束时，各组的分数如下：

第五组-100第一组100第二组150第三组-400第四组350

（1）第一名超出第二名多少分？

（2）第一名超出第五名多少分？

【解析】（1）用最高的第四组的分数减去第二组的分数，然后根据有理数的减法运算法则进行计算即可得解；（2）用最高的第四组的分数减去第三组的分数，根据有理数的减法运算法则：减去一个数等于加上这个数的相反数，进行计算即可得解。

有理数减法的实质并不是小学阶段建立的“在整体中拿走一部分”。从本质上说，这两道例题能帮助同学们对数学运算的理解上升到一个新的高度——理解数学算理。

二、培育数学“符号意识”

同学们应该明白，“数与式”中的内容并不是枯燥的符号和繁杂的计算，事实上，“数与式”内容非常丰富，与现实世界和生活都是紧密联系在一起的。

1.具有现实意义的问题情境。

例5手工拉面是我国的传统面食。制作时，拉面师傅将一团和好的面，揉搓成一根长条后，手握两端用力拉长，然后将长条对折，再拉长，再对折，每次对折称为一扣，如此反复操作，连续扣六七次后便成了许多细细的面条。一根面条拉扣8次是多少根？一根面条拉扣n次是多少根？

【解析】一根面条拉扣1次是2根，一根面条拉扣2次是（2×2）根，一根面条拉扣3次是（2×2×2）根，一根面条拉扣4次是（2×2×2×2）根……所以，一根面条拉扣8次是根，记作28。一根面条拉扣n次是（）根，记作2n。

例6某种细胞每过30分钟便由1个分裂成2个。根据此规律，请根据你所学的知识，计算：（1）这样的一个细胞经过3小时后可分裂成多少个细胞？（2）这样的一个细胞经过n（n为正整数）小时后可分裂成多少个细胞？

【解析】（1）经过3小时后可分裂成22×3=26=64个细胞；（2）经过n（n为正整数）小时后可分裂成22n个细胞。

例713世纪数学家斐波那契的《计算书》中有这样一个问题：在罗马有7位老妇人，每人赶着7头毛驴，每头驴驮着7只口袋，每只口袋里装着7个面包，每个面包附有7把餐刀，每把餐刀有7只刀鞘，则刀鞘有多少只？

【解析】7×7×7×7×7×7=76，刀鞘有76只。

例6与例7都是中考题，显而易见，这类题目是通过对教材的引例进行挖掘，然后变式延展而成的。同学们要在具体情境中主动识别运算类型、运算对象，自觉选择适当的运算法则，正确实施运算，解释运算结果的合理性，从而在使用的过程中逐步感知与接受数学符号。

2.数学活动或数学游戏。

例8数学活动：李明同学用一个边长为a的正方形和一个边长为b的正方形以及两个长和宽分别为b、a的长方形（如图所示），拼成一个大的正方形，且他通过比较拼图前后的总面积发现了一个数学规律。

（1）请你画出拼成后的图形。

（2）请你用数学式子表示李明同学发现的数学规律，并利用规律计算（2x+3y）2。

【解析】（1）如图所示：

例9数学游戏：将若干枚棋子平均分成3堆（每堆至少2枚），分别放在左边、中间、右边，并按如下顺序进行操作：第一次，从右边一堆中拿出2枚棋子放入中间一堆；第二次，从左边一堆中拿出1枚棋子放入中间一堆；第三次，从中间一堆中拿出几枚棋子放入右边一堆，并使右边一堆的棋子数为最初的2倍。小明认为：无论最初的棋子数为多少，按上述方法完成操作后，中间一堆总是剩下1枚棋子，你同意他的看法吗？请说明理由。

【解析】无论最初的棋子数为多少，最后中间只剩1枚棋子。理由：设原来平均每堆a枚棋子，则最后左边2a枚棋子，右边（a-1）枚棋子，总棋子数还是3a。列式：3a-2a-（a-1）=1，所以最后中间只剩1枚棋子。

在“数与式”的学习过程中，同学们要善于进行动手操作、积极思考并找到规律，主动使用数学语言和数学符号表达自己的思维过程，只有这样才能有利于同学们正确认识数学符号的内涵，有助于你们形成“符号意识”，提高运算能力，促进数学素养的不断提升。