巧用思维导图培养学生发散性思维

李信巧 刘娜娜

【摘 要】本文以“指数函数及其性质”为例，阐述思维导图在教学中的应用，分析思维导图对培养学生发散性思维的作用，并对思维导图在数学教学中的应用进行总结和反思。

【关键词】指数函数 思维导图 发散性思维

【中图分类号】G  【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2019）11B-0098-03

数学是研究数量关系和空间形式的一门学科，数学在培养理性思维、学科精神和促进个人智力发展过程中发挥不可替代的作用。思维导图是一种利用图形、符号等将大脑的内部思维过程进行外部呈现的发散性思维的工具，它能充分地运用右脑的图像功能，帮助人们改善大脑存储方式。在数学教学中，使用思维导图能有效地帮助学生整理数学知识。本文主要论述在教学实践中使用思维导图培养和提高学生整理数学知识的能力，帮助学生在解题中提取大脑中存储的知识点进行解题。

一、思维导图在教学中的应用案例

（一）引出概念

〖问题一〗这两个解析式：（t≥0）;y=1.073x（x∈N+，x≤20）有什么共同特点呢？像这样式子是不是函数呢？如果是，那么它是什么函数？

〖归纳〗如果可以用字母 a 代替其中的底数，那么上述两式就可以表示成 y=ax 的形式。因为自变量在指数位置，所以我们把它称作指数函数。

指数函数的定义：一般地，函数 y=ax（a≥0，且 a≠1）叫做指数函数。其中，x 為自变量，函数定义域为 R。

〖问题二〗为什么规定 a≥0，且 a≠1？

教师以问题串的形式，一步步引导学生归纳指数函数的概念，学生开始在纸上绘制出本节思维导图雏形（如图 1 所示）：

（二）概念辨析

〖例 1〗辨一辨下列函数中哪些是指数函数？

（1）y=4x;（2）y=x4;（3）y=-4x;（4）y=（-4）x;（5）;（6）;（7）y=4-x;（8）y=xx;（9）y=42x;（10）y=（2a-1）x（，且 a≠1）。

〖练一练〗若函数 y=（a2-3a+3）ax 是指数函数，求 a 的值。

通过例 1 和练习进一步探讨指数函数定义中的细节，学生接着完善思维导图如下（如图 2 所示）：

（三）性质探索

〖问题三〗研究函数一般包括哪些方面？

探究一：小组合作。结合课本提示从图象和解析式这两个不同的角度研究以下函数的值域、单调性、奇偶性并归纳。

绘图：（1）y=2x;（2）y=3x;（3）;（4）。

步骤：列表、描点、绘图。

要求：选取的点必须包含 x=-1，x=0，x=1 这三个点。

引导学生观察图象的特点，进而得出 a>1 和 0

以小组为单位结合课本所给提示，完成四个指数函数图象的绘制。根据所学函数性质对指数函数性质进行探讨，并添加至思维导图中（如图 3 所示）：

（四）拓展提升

〖例 2〗函数 y=ax-3-2（a>0，a≠1）的图象恒过定点 P，则 P 点坐标为                   。

〖例 3〗比较下列各组数的大小。

（1）1.72.5 1.73;     （2）0.7-0.1 0.8-0.2;

（3）1.70.3 0.73.1;   （4）30.1 20.1。

以其中一个小组思维导图为例，进行讲解完善。师生共同构建并完成本节课的思维导图（如图 4 所示）：

【例 2 教学片段】

师：函数 y=ax-3-2（a>0，a≠1）的图象恒过的定点 P 的坐标是什么？我们先观察这个函数类型，再做下一环节的判断。

生：这个是指数型函数。

师：指数型函数的特点是不是和指数函数有关？

生：是。

师：那有哪些是相关的？可以怎么解决？

生：根据指数函数恒过定点（0，1）可以进行推测，当 ax-3 中 x-3 为 0 时不管 a 在定义域内进行怎样的变化都不会改变 y 的值，由此可以确定定点的坐标。

师：很好，那下面请同学们根据自己的思考，绘制这道题的思维导图，可以进行尽可能地扩散。

师：好，现在我给大家展示一下 C 同学的思维导图（图 5）。

【课后练习教学片断】

师：通过对本节课的学习，请同学们完成课本上 59 页 A 组题目中的第 7 题第 1 小题，时间两分钟。

师：好，在刚刚的巡视当中，发现很多同学都能快速地使用思维导图将练习完成，而且除了老师布置的，还额外完成了其他题目。请大家一起来看一下 A 同学的思维导图（如图 6 所示）。

师：我们可以看到，A 同学将指数函数的性质应用得非常好，而且总结了指数函数比较大小的一些方法。但是除此我们还有哪些方法？

生：还可以通过中间值去比较。

师：对，那我们在自己的解题思维导图上加上去。我们这节课就到这，课后请同学们将指数函数的思维导图加入函数类型的思维导图中，并进行完善。

【应用案例分析】

本节课主要学习指数函数及其性质。在研究指数函数性质之前，学生对函数已经有了一定的了解，知道研究函数应该从哪些方面入手。教师紧紧围绕“指数函数及其性质”这一中心内容展开本节课的教学。本节课的难点在于对指数函数模型的认识，通过概念辨析之后学生对指数函数的模型有了一定的了解。教师此时要求学生绘制思维导图将知识点以图片的形式展现，使学生直观地发现重点、难点、易错点间的关系。同时，整节课堂利用思维导图将知识点联系在一张图片上，课程内容讲解结束后学生能在笔记本上留下完整的关于“指数函数及其性质”的思维导图。这样的课堂，学生参与度比较高，能有效地将知识进行整理归类，为后继学习奠定良好的知识基础。

传统的解题教学模式几乎是教师对问题进行分析，将相关的内容罗列在黑板上，再让学生进行求解。使用思维导图解题分析模式，区别于常规课堂中教师分析的模式，它把分析过程以思维导图的方式呈现，使分析过程更加清晰，也使学生在解题分析中进一步深化题目所涵盖的知识点。这种模式将被动的学习方式变为学生主动学习的方式。可见，教师在课堂上利用思维导图辅助教学能充分地调动学生解题分析的积极性，将脑海中的对数学问题所设想的可能写在纸上，方便学生找到问题解决的办法，取得举一反三的学习效果。

二、思维导图对培养学生发散性思维的作用

思维导图事实上是对学生思考过程进行有型的记录。学生在学习新的知识和解题上，往往会遗忘某些知识点，导致无法解决相关的数学问题。思维导图对培养学生发散性思维具有几个方面的作用：

其一，能有效帮助学生将零散的知识点归类到完整的数学体系中。学生在学习的过程中，往往是先接收到零散的知识点，课后再将零散的知识点汇总到相关的知识体系中，以便更好地理解和运用知识。

其二，能有效地幫助学生解决数学问题。在数学问题解决的过程中，学生可以通过绘制解题思路的思维导图，能更好地寻找更多的解决问题的途径，有效地帮助学生更全面地分析和解决数学问题。

其三，思维导图能改善学生存储知识点的方式，帮助学生调动右脑参与学习。

三、在数学教学中使用思维导图的思考

学生是学习的主体，教师在学生的学习过程中只起到引导作用。思维导图在教学中的应用，能恰当地将数学课堂交回给学生，使学生能够根据教师所给的提示进行探索。现根据教学实践进行总结，为今后在数学教学中使用思维导图提供参考。

在训练上，教师要结合学生现有知识基础及学习行为习惯，循循善诱，帮助学生尽快熟练数学思维导图的绘制方法、技巧，逐渐形成自己个人特点。学生初学思维导图时，不同的学生会遇到不同的困难，因此，教师要深入了解学生所遇到的困难，并及时解决。特别要注意的是，成绩处于中下水平的学生由于受自身数学知识储备的限制，接受并使用思维导图的程度会比较困难，因此要循序渐进，逐步提高。

在教学设计上，教师要充分考虑在课堂上使用思维导图是否有效，学生能否根据教师的引导绘制相关思维导图。要做好预设，预测学生在绘制思维导图时，可能遇到的各种问题。教师最好能事先提前绘制一份完整的完善的思维导图，以便在教学中能更好地帮助学生提出更好的修改建议。

在教学过程中，思维导图在各个教学环节都可以使用，但在知识梳理、解题分析、解题反思等环节应用会更高效。思维导图的有效性在一定程度上体现学生对知识、条件的分析和整理能力。如果学生没有系统地归纳和整理数学知识的能力，那么在数学问题解决上也会遇到很大的困难。因此教师在教学过程中可以这样处理，一是在训练学生使用思维导图的过程中要循序渐进，充分关注学习成绩处于差等的学生对思维导图的掌握情况，只有这样才能更好地帮助本就成绩差的学生找到新的学习方式;二是在课堂上预留充足的时间给学生使用思维导图对知识进行归纳整理;三是在使用思维导图的过程中要深入了解不同的学生所遇到的问题，及时帮助学生解决遇到的困难;四是在复习、解题等思维导图的绘制上，要充分尊重学生的主体地位，发挥小组合作的作用，让学生互评互改思维导图，并互相完善，必要时教师可参与一起绘制思维导图。

【参考文献】

[1]曹才翰，蔡金法.数学教育学概论[M].南京：江苏教育出版社，1989

[2]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017版）[M].北京：人民教育出版社，2017

[3]倪兴荷.运用思维导图促进初中生分析数学概念性知识的实践与研究[D].南京：南京师范大学，2014

[4]东尼·博赞，巴利·博赞.思维导图[M].北京：化学工业出版社，2017

【基金项目】玉林师范学院2014年度“MS -EEPO 有效教育”教学改革项目“基于‘MS-EEPO有效教育框架下培养师范生数学教学技能的研究与实践”（14EEPO10）。

【作者简介】李信巧，玉林师范学院数学与统计学院副教授，广西高中数学课改专家组成员，主要研究方向为数学课程与教学论、思维导图与数据驱动教学;刘娜娜，硕士，玉林师范学院商学院教师，主要研究方向数学课程与教学论，数学教育技术。

（责编 卢建龙）