复合函数的常见题型及解法

杨树才

摘 要：复合函数的概念，复合函数的定义域，复合函数的值域或最值，判断复合函数的单调性，求参数的取值范围（或值）。

关键词：复合函数；题型；解法

函数y=f（u），而u=g（x），且函数g（x）的值域包含在f（u）的定义域内，那么y通过u的联系也是自变量x的函数，我们称y为x的复合函数，记为y=f（g（x）），其中u称为中间变量。下面就复合函数中常见的四类题型的解法归纳如下：

【题型一】求复合函数的定义域

【例1】函数y=xln（1-x）的定义域为（ ）

A. （0，1）

B. [0，1）

C. （0，1]

D. [0，1]

【解析】要使函数有意义，则x≥01-x>0，解得0≤x<1。选B。

【评注】偶次根式和对数函数有意义的条件可得不等式组。

【变式1】已知函数f（g（x））的定义域→求函数f（φ（x））的定义域

已知函数f（2x）的定义域为[-1，1]，求f（log2x）的定义域。

【解析】∵-1≤x≤1∴12≤2x≤2即f（x）的定义域为[12，2]。

∵12≤log2x≤2，∴2≤x≤4。

故f（log2x）的定义域为[2），（4]。

【题型二】求复合函数的值域或最值

【例2】已知函数f（x）=（log4x-3）·log44x。

（Ⅰ）当x∈[14，16]时，求该函數的值域；

（Ⅱ）令g（x）=f（x）+log4x2-2a·log4x，求g（x）在x∈[42，44]上的最值。

【解析】（Ⅰ）f（x）=（log4x）2-2log4x-3，令t=log4x，则x∈[14，16]时，t∈[-1，2]，

此时有y=t2-2t-3，∴y∈[-4，0]。

（Ⅱ）g（x）=（log4x）2-2a·log4x-3，令t=log4x，则x∈[42，44]时，t∈[2，4]，

此时有y=t2-2a·t-3，

①当a≤2时，当t=2时，ymin=1-4a；当t=4时，ymax=13-8a。

②当2

③当3

④当a≥4时，当t=4时，ymin=13-8a；当t=2时ymax=1-4a。

【评注】本题用“换元法”求复合函数值域，注意换元后字母的取值范围。

【变式2】用“配方法”→求复合函数最值

已知2x≤256且log2x≥12，求函数f（x）=log2x2·log2x2的最大值和最小值。

【解析】由2x≤256得x≤8，log2x≤3，即12≤log2x≤3，

f（x）=（log2x-1）·（log2x-2）=（log2x-32）2-14。

当log2x=32，f（x）min=-14，

当log2x=3，f（x）max=2。

【变式3】用“单调性法”→求复合函数值域

求函数y=log0.5（-x2+2x+3）的值域。

【解析】由-x2+2x+3>0得-1

令u=-x2+2x+3=-（x-1）2+4则0

∵y=log0.5u在（0，4]上单调递减，∴y≥-2。

故所求函数的值域为[-2，+∞）。

【题型三】判断复合函数的单调性

【例3】（2014年天津卷）函数f（x）=log12（x2-4）的单调递增区间为（ ）

A.（0，+∞）

B.（-∞，0）

C.（2，+∞）

D.（-∞，-2）

【解析】由x2-4>0得f（x）的定义域为（-∞，-2）∪（2，+∞）。

令u=x2-4，则u在（-∞，-2）上递减，在（2，+∞）上递增。

因为y=log12u在其定义域上递减，

所以f（x）单调递增区间为（-∞，-2）。故选D。

【评注】复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则。但函数的单调区间必须是其定义域的子集。本题是由对数函数与二次函数复合而成的。

【变式4】函数f（x）=x2-4的单调递增区间为 。

【答案】[2，+∞）

【变式5】函数f（x）=2x2-4的单调递增区间为 。

【答案】[0，+∞）

题型四：求参数的取值范围（或值）

【例4】（2014·江西理3）已知函数f（x）=5|x|，g（x）=ax2-x（a∈R）。若f[g（1）]=1则a=（ ）

A. 1

B. 2

C. 3

D. -1

【解析】∵g（1）=a-1∴f[g（1）]=f（a-1）=5|a-1|=1∴|a-1|=0∴a=1。

【评注】本题是“由内到外”求复合函数值而得到a。

【变式6】已知复合函数的定义域→求参数的取值范围

函数f（x）=mx2+mx+1的定义域为R，则实数m的取值范围是（ ）

A.[0，4]

B.[0，4）

C.[4，+∞）

D.（0，4）

【解析】f（x）=mx2+mx+1的定义域为R