高中二次函数的重新认识与加深

卢德飞

来宾市第四中学 广西来宾 546100

二次函数是贯穿初中和高中数学课程的一种很重要的函数，不管在代数中，还是解析几何中，利用此函数的机会都特别多；同时各种数学思想如函数的思想，数形结合的思想，分类讨论的思想，利用二次函数作为载体，展现得最为充分。尤其是在高中阶段，有基本函数、不等式、数列、导数等部分的基础内容。本文通过对二次函数在不等式，数列，导数，解析几何中的应用来说明二次函数作为高考的重点及其难点始终是高中教学的重点，因此对于二次函数的应用的研究对于高中阶段教学有重要的意义。

一、二次函数定义的理解

一般地，自变量 x和因变量 y之间存在如下关系：y=ax2+bx+c（a，b，c 为常数，a≠0），与二次函数在初中阶段理解的不同，高中阶段的二次函数在集合和映射的基础之上进行认识理解的，主要以映射的知识重新认识了函数的定义：二次函数是从一个集合A（定义域）到集合B（值域）上的映射f：A→B使得集合B中的元素y=ax2+bx+c（a≠0）与集合A的元素x对应，记作：f（x）=ax2+bx+c（a≠0），这里面的这里ax2+bx+c表示对应法则，又表示定义域中的元素X在值域中的象，从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识。

二、二次函数的单调性、最值、图像

通过二次函数y=(a≠0)图像可以了解和认识函数的单调性：

三、结合二次函数图像解决一元二次不等式中的求解问题

结合二次函数图像可以更清晰的看到函数的对称轴与特殊点问题，而抛物线上的特殊点和对称轴对于解题至关重要，有必要深刻理解。二次函数解析式y=ax2+bx+c(a≠0)用配方法可化成y=a x h2+k的形式，其中对称轴为抛物线是轴对称图形，抛物线上任意一对对称点连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点。如果 A(x1，x1)，B(x2，x2)是抛物线上两点，若y1=y2，则这个抛物线的对称轴是

当b24ac与0的关系不同时，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点也不同。

四、二次函数在导数中的应用

分析：易知f（'1）=0，（f 1）=10，从而求出a，b的值，但f（'1）=0是函数在该点取得极值的必要不充分条件，故应进行检验。

解：由题意得f（'x）=3x2+2ax+b，x=1是函数的极值，且极值为10，则有：f（'1）=0，（f 1）=10。即3+2a+b=0，1+a+b+a=10解得a=4 b=-11或a=-3 b=3。

此时（f x）在R上单调递增，x=1不是函数的极值点，故应舍去。所以，a=4，b=-11。

五、二次函数在解析几何中的应用

例：讨论直线y=kx+1与双曲线x2y2=1的公共点的个数。

当1-k2=0，即k=±1时，有一个公共点，并且是交点；当1-k2≠0，即 k≠±1 时，D=8-4k2，由 D ＞ 0 得时，有两个交点，由D=0得，时，有一个交点，并且是切点，由得或时，无交点。

这些在初中的内容里有些都是没有涉及到的，对二次函数的重新认识和了解，给学生打开了知识的另一个大门，拓宽了学生的视野，也为往后的学习奠定一定的思想方法。