一道分式方程的解法及常见错误分析

穆艳华

摘要：分式方程是当前中学数学教学中的一门知识，在对分式方程的实际解题过程中，可以综合运用多种方法进行。同时，由于分式方程对刚刚接触到它的中学生而言，有一定的复杂性，所以要注意解题过程中出现的错误。本文从一道分式方程的解题方法入手，对分式方程解题过程中出现的错误进行了探究。

关键词：分式方程;解法;错误分析

引言：

在进行分式方程的解题过程中，可以发现分式方程的解法多样，同时出现错误的位置也不尽相同。在分式方程中，学生可能会在对分母的处理、解题步骤的处理等多个地方出现错误。所以通过实例对可能出现的错误进行分析，并引导学生去避免错误的发生是分式方程教学过程中值得注意的一点。

一、分式方程的解法

分式方程是初中学习数学过程中的重点之一，同时由于其相对于初中学生而言，具有一定的难度，所以也是学生学习过程中的难点之一。在对分式方程进行解答的时候，通常使用的有去分母和移项的两种解题方式。

以一道分式方程为例：

2

x+1

-

x

x2-1

=0，在解答过程中，通过乘以（x-1）（x+1）的方式可以得到：2（x-1）-x=0.当方程进行到这一步，我们可以通过解答目前的等式，得出x=2的结论，通过带入x=2进入（x-1）（x+1）时，可以得出等式不等于零，同时带入原方程可以发现原方程成立，所以x=2为原方程的解。需要注意的是，在进行分时方程解答的时候，去分母的依据是，等式的两边同时乘以或除以一个不等于零的时时，等式仍然成立，同时，由于原方程转化为整式方程，所以原本的取值范围扩大，可能会产生增根，需要进行检验。因而，其完整的解题步骤应为：

（1）去分母，通过方程两边同乘最简公分母（x-1）（x+1）去掉分母。

（2）得到2（x-1）-x=0

（3）解答该方程2（x-1）-x=0

（4）进行检验，将所得的解，代入最简公分母中。若最简公分母的不为零，则该值为原方程的解成立;若最简公分母为零，则原方程无解，所得到的数值为原方程的增根。

二、解答分式方程过程中可能出现的错误分析

（1）在步骤上的疏漏问题

在方程的解答过程中，“检验”步骤是十分重要的一步，通过检验步骤，可以确定当前的答案是否为原方程的解。同时，在分式方程的解答过程中，由于涉及到去分母将分式方程变为整式方程，这一过程中方程的取值范围会随之变大，从而产生增根。所以在进行分式方程解答时，需要注意“检验”的步骤。

例如：解答方程

2

x+1

-

x

x2-1

=0

1：方程两边同时乘以（x2-1）（x+1）可得2（x-1）-x=0

2：解这个方程2（x-1）-x=0得：x=2

这个解题步骤的错误出现在缺乏检验步骤，需要进行步骤的补足：

检验：当x=2时，方程（x-1）（x+1）≠0，所以x=2为原方程的解。

这里我们需要进一步明确方程的解题步骤，在解分式方程的过程中，第一步需要去掉分式方程的分母，将分式方程变形成为整式方程;其次是通过运用相关的运算规则，来寻求方程的解;最后需要通过检验步骤，来验证所求得的值是否能让原方程真正成立，以及该值是否为原方程的解。

（2）常数项漏算或错算

分式方程中，常常会涉及到常数的存在，而在实际的运算过程中，可能由于麻痹大意等原因，造成常数项的漏算或错算的问题出现，从而导致解题的失败。需要明确，由于分式的特质存在，所以在进行去分母时，需要对分式的每一个项进行计算，才能确保等式的两边相等，进而确保所求得的值为原方程的解。

例如：在解答

2

x+1

-

x

x2-1

=0该分式方程的时候，首先进行去分母的演算。

方程两边乘以（x-1）（x+1）去分母，得：2（x-1）-x=（x-1）（x+1）。

该步骤的错误在于，在进行去分母的过程中，对方程右边常数项的计算错误，0乘以（x-1）（x+1）的结果应为0，由于计算错误，所以造成原方程无解。同时，若在方程中出现常数项，在去分母的过程中也应相应地以常数项乘以或除以（x-1）（x+1），才能最终确保方程的解存在。

（3）对括号的理解不够深入

解方程时，会遇到题目出现多个括号的问题。在进行分式方程的解答中，正确地去括号是保证解题顺利的一大因素。同时，错误的去括号会造成题目从根本上变化，而无法进行正常的解答。在去括号的过程中，还需要注意的是分数线的重要性，分数线在分式方程中具有括号的作用，如果在解题过程中，忽视分数线的该项作用，也会导致解题的错误。

例如：对分式方程

2

x+1

-

x

x2-1

=0进行解答。

通过乘以（x-1）（x+1）进行去分母操作，得出等式2（x-1）-x =0，并对该等式进行去括号操作，得出方程2x-1-x=0。在进行去括号的步骤时，同样需要将括号外的项与括号内的项分别相乘，才能保证等式的成立，从而保证对分式方程的解答正确。在解题过程中，还需要注意括号前的正负符号，在去括号的过程中，各项应当进行相应的变项处理。

（4）约分过程中的失误问题

分式方程的解答，离不开对约分的需求。在进行去分母等的处理过程中，需要对该问题引起重视，错误的方式会导致方程最终解答的错误，学习过程中需要注意，在分式的分子与分母为多项式的时候，需要先进行因式分解，其次再进行约分处理，从而确保解题正确。这样的错误在解题过程中随时可能遇到，需要通过对方程约分处理引起相应的重视，从而去进行对错误的规避。

结束语：

在进行分式方程的解答过程中，需要综合应用到多方面的知识，例如方程的基本性质、恒等变形、整式运算等进行结合。并且在教学过程中，要培养起敏锐的感知能力，通过在实际的解题过程中，来对分式方程的解法有更深入更細致的理解。同时在解题过程中需要注意检验的方法，从而达到良好的解题效果。

参考文献：

[1]侯正永.一道分式方程的解法及常见错误分析[J].初中数学教与学，2009（3）：26-27.

[2]吴仙姣.分式方程解法中常见错误解析[J].山西教育（管理），2000（22）：33-33.

[3]王彬.分式及分式方程计算中常见的错误与应对策略[J].中学数学研究：华南师范大学版，2017（24）：45-47.