集成TEO解调和随机共振的行星齿轮箱早期故障诊断方法

张俊 钟敏 张建群 姚立纲 郑近德

摘要：针对行星齿轮箱早期微弱故障难以诊断的问题，提出一种结合Teager能量算子（TEO）解調和随机共振增强输出的方法以实现故障特征提取。首先，对行星齿轮箱振动信号进行经验模式分解（ EMD）并选取包含故障信息的分量信号，使用TEO解调运算获得分量信号的解调信号。其次，为满足随机共振系统的小参数条件，将解调信号做适当压缩处理并进行频率二次采样。再次，以定义的随机共振系统输出信噪比为适应度函数，采用粒子群算法优化随机共振系统的结构参数，进而重构随机共振系统以实现信号、噪声以及非线性系统的最佳匹配。最后，将信号重新输入参数优化后的随机共振系统实现故障特征的增强提取。仿真和实验均表明：该方法获取了随机共振系统的大信噪比输出，实现了强噪声下微弱故障特征的准确和高效提取，是一种行之有效的行星齿轮箱早期微弱故障诊断方法。

关键词：故障诊断;行星齿轮箱;能量算子;经验模式分解;随机共振

中图分类号：TH165+.3;TH132.4

文献标志码：A

文章编号：1004-4523 （2019） 06-1084-10

DOI：10. 16 385/j. cnki. issn. 1004-4523. 2019. 06. 018

引言

行星齿轮传动因其具有体积小、传动比大和承载能力强等优点，在各类工业机械中得到广泛应用。在某些重要领域行星齿轮箱一旦发生故障将引起极其严重的后果，因此开展行星齿轮箱的故障诊断并探索高效的故障诊断方法势在必行。

对振动信号包含的故障信息进行提取是齿轮箱故障诊断的有效方法。齿轮早期故障信号往往非常微弱，容易被噪声淹没，因此常规的信号处理方法在提取齿轮微弱故障信号时失效[1]。针对齿轮箱微弱故障信号提取问题，众多学者进行了有益的探索。胥永刚等[2]利用复小波结合形态分量分析对信号进行降噪重构获得故障信息;孙海亮等[3]采用多小波阈值降噪方法对轧机齿轮箱故障特征进行了提取。W ang等[4]采用集合经验模式分解（EEMD）实现了风电齿轮箱轴承故障信号的分离提取;Cheng等[5]结合EEMD和熵特征融合进行了行星齿轮箱故障信息的提取;采用类似方法的研究还有文献[6-7]。孟玲霞等[8]运用盲源分离技术对风电齿轮箱的齿轮磨损进行了预报;Li等[9]使用盲源分离技术对船用齿轮箱进行了故障诊断。需要指出的是，上述的小波分析与EEMD等方法均是通过对信号进行振动模式的分解以获得故障所引起的振动分量。但是，当故障信号所具有的能量极小而噪声占据主导时，信号分解的结果将出现明显的模态混叠现象，单独使用这类方法不易实现故障信号的有效提取。而盲分析技术存在欠定以及对非平稳信号分离困难等问题，限制了其实际应用效果。

不同于小波分析与EEMD等方法，随机共振利用信号、噪声与非线性系统的协同作用，以噪声能量增强周期信号的输出，来实现微弱周期信号的提取[10]。文[11-12]等较早地将随机共振方法运用在直升机减速器齿轮点蚀故障诊断以及转子碰摩故障分析。调节随机共振系统的结构参数，可以有效诱导随机共振，但早期的研究往往是依靠经验来选取随机共振系统的结构参数，其操作难度较大，故一些学者提出结合智能优化算法的自适应参数调节随机共振方法，并将其运用于故障诊断。Li等[13]采用遗传算法优化随机共振系统的结构参数，并将结合遗传算法优化的随机共振方法用于轴承故障的诊断;Lei等[14]采用蚁群算法融合随机共振对行星齿轮箱缺齿故障进行了诊断;谢有浩等[15]采用鱼群算法得到优化参数的随机共振，实现对齿轮断齿故障的诊断;李继猛等[16]等采用粒子群算法优化随机共振系统，并将其运用于水轮机故障信号的提取。

综上所述，当前采用随机共振方法对行星齿轮箱早期微弱故障进行诊断的研究较少。相较于定轴齿轮箱，行星齿轮箱发生故障时其振动信号具有以下特点[14]：从啮合点到固定传感器的信号传递路径是时变的，信号调制现象显著;在信号频谱中，不再严格具有以啮合频率及其倍频为中心的故障边频带;处于低频段的故障特征容易被噪声淹没。以上特点增加了行星齿轮箱早期故障的诊断难度，而信号预处理是降低诊断难度的有效途径。在已有的研究中，采用随机共振方法提取故障特征前多未对信号进行充分预处理，限制了诊断效果。解调是常用的一种信号预处理方法。相较于Hilbert解调，Teager能量算子（Teager Energy Operator，TEO）解调在精度和实时性上有显著优势，因此TEO广泛应用于机械故障诊断领域中的信号解调分析[17-18]。

有鉴于此，针对行星齿轮箱早期微弱故障难以诊断的问题，提出基于TEO解调和随机共振的行星齿轮箱早期故障诊断方法。该方法的基本思路是：先对齿轮箱振动信号进行EMD分解以选取包含故障信息的分量信号，再利用TEO运算获得该分量信号的解调信号;对解调信号进行压缩和二次采样以满足随机共振的小参数条件;将信号输入随机共振系统并计算定义的随机共振输出信噪比，使用粒子群算法优化系统的结构参数并重构随机共振系统;将信号重新输入随机共振系统，最终实现行星齿轮箱微弱故障信号的随机共振增强提取。下文将围绕这一方法的各环节做具体阐述，并分别结合含故障行星齿轮箱的仿真信号与实测信号分析，对所提方法的有效性予以证实，希望为行星齿轮箱早期微弱故障诊断提供一种行之有效的技术解决途径。由于EMD方法在众多文献中有使用，故本文只使用此方法，不再对其进行详细的理论介绍，可参阅文献[17]。

1 TEO解调方法

Teager在研究语音建模时，提出了一种信号分析算子。定义信号x（t）的Teager能量算子φ为

对一般形式的调幅一调频（AM—FM）信号[17]

x（t）=a（t） cosφ（t）

（2）式中 a（t）为调制幅值;φ（f）为调制相位。

由信号x（t）及信号微分x（t）的Teager能量算子实现信号的瞬时幅值和瞬时频率解调：

相较于Hilbert解调，TEO解调具有精度优势，不妨以下述的AM-FM信号为例予以说明：x（t）=[1+0. lcos（2∏fst）]cos[2∏fmt+sin（2∏ f，t）]其中，fm =10 Hz;fs=0.2 Hz; fl=0.3 Hz。

图1为分别使用两种解调方式的解调结果。直接观察可知，TEO解调对调制信号的恢复效果优于Hilbert解调，端点附近尤为明显。从量化指标上看，TEO幅值解调和频率解调的均方误差（MSE）值分别只有0.00 3 3和1. 7097，而Hilbert解调MSE值分别为0.0214和2.5635，表明TEO解调具有较高精度。

需要指出的是，TEO解调对噪声较敏感，故对多分量信号的解调效果往往不够理想。鉴于此，对信号预先进行EMD分解以获得包含故障信息的本征模式分量（IMF），再对其进行TEO解调。

2 微弱信号随机共振检测方法

2.1 双稳随机共振系统模型

周期信号驱动的双稳态随机共振系统可以用以下的郎之万方程（Langevin Equation，LE）来表示[19]式中 U（x）为对称双稳态势函数，其中a和b为其形状参数即随机共振系统参数;s（t）为多频周期信号;Ai和fi分别为第i个周期分量信号的幅值和频率;n（t）为高斯白噪声，满足：1）噪声均值E[n（t）]=O;2）噪声相关矩E[n（t）n（t'）]=2Dδ（t一t'），即不同时刻噪声互相独立。S（t）+n（t）为混合噪声与周期信号的系统输入，x为系统的输出。

如图2所示，势函数U（x）具有两个稳定的极值点x=±a/b（势阱）和一个不稳定的极值点x=0（势垒），势垒高度△V =a2/（4b）。

对上述系统给予轻微的噪声干扰，将导致粒子Pl最终稳定在定态解x=±a/b处。假想粒子在噪声和周期信号协同下，克服势垒高度△V并在两势阱之间做跃迁运动，当跃迁频率正好等于周期信号的频率，系统出现随机共振现象。

外界噪聲驱动下，粒子P2在两个稳态点之间的平均跃迁频率fM为

由式（6）可知：（1）当参数a和b确定时，跃迁频率取决于噪声强度D，极限跃迁频率a/（2b∏），即改变噪声强度可以诱导随机共振;（2）噪声强度一定时，改变参数a或b将导致势垒高度变化，从而改变粒子的跃迁频率，同样可以实现随机共振。

控制噪声强度来诱导随机共振具有较大的操作难度，故在工程中常通过调节结构参数a和b实现系统在参数驱动下的随机共振。

2.2 随机共振小参数条件

随机共振需满足小参数条件，即驱动信号的幅值和频率以及噪声强度均比1小得多。然而，实际工况中采集的信号一般难以满足小参数条件。为此，需要对信号进行预处理。

为满足噪声强度的小参数条件，需对信号进行压缩处理。首先将有用信号和噪声统一按噪声处理，得到噪声方差的估计值δ2x至，再选取适当的信号压缩比q对信号进行q倍压缩，使得压缩后的噪声方差a2x=a2x/qz满足要求。

采用文献[20]提出的二次采样方法来满足信号频率的小参数要求。假设信号采样频率为fsp，特征信号的频率为fs。设定频率变换比R，则可以得到二次采样的频率f cr=fsp/R。以h=1/fcr作为数值计算步长，将信号输入双稳随机共振系统，进行数值迭代获得系统输出。若输出信号中获得的小参数特征频率为fs'，进行尺度恢复即可得到特征频率fs= fs'×R。

2.3 随机共振输出信噪比

随机共振输出信噪比定义为特征信号功率与背景噪声功率的比值，即式中 S（fs）为特征信号功率，通过计算输出频谱中特征信号频率fs处幅值y（fs）的平方可得，N（fs）为背景噪声功率，需做进一步估计。

由于难以对实际采集的齿轮箱振动信号进行精确的噪声功率计算，故在上述公式基础上提出适用于离散的实测含噪信号的信噪比公式式中 Y（k）为系统输出信号频谱中特征频率fs所对应的第k个傅里叶点处的幅值;N（fs）为噪声功率的估计值，定义为系统输出频谱中第k点左右各M个点（不包含k点）的平均功率，M的选择与采样频率fsp有关，采样频率高则M取较大。

3 粒子群优化算法（ PSO）

为保证参数调节随机共振的效果，需要根据信号的不同自适应地选择参数a和b。为此，采用PSO算法，以式（8）定义的输出信噪比为适应度函数，对随机共振系统参数a和b进行优化。

PSO算法中，粒子在一个N维空间进行搜索，则粒子i的信息可用两个N维向量来表示：粒子i的位置X i =（xil，xi2，…，XiN）T，飞行速度vi=（ui1，ui2，…，uin）T，根据以下两式更新粒子信息：式中 d为搜索维数;ukid和xkid分别为粒子i在第k次迭代中第矗维的速度和位置;Cl，C2为学习因子;randk1，randk2为[O，1]之间的均匀随机数;Pbestkid为第k次迭代，粒子i第d维最优位置;Gb estkd为第k次迭代，粒子中第d维最优位置。

PSO算法的具体步骤如下：

（1）种群的初始化。设定学习因子Cl和C2，种群规模M，最大迭代次数N max，速度范围[Vmin，V max]，a，b的搜索范围。产生初始种群并计算适应度。

（2）进化和更新。进入主循环，根据式（9）和（10）更新每个粒子的速度和位置，计算适应度并更新个体最优位置Pbest和全局最优位置Gbest，将本次迭代全局最优Gbest赋予Gbestc。

（3）迭代和更新。进行下一次迭代，重复步骤（2）更新Gbestc，达到最大迭代次数Nmax，则算法停止。

4 仿真数据分析

为验证本文所提方法的有效性，首先进行仿真信号的分析。不失一般性，以下述简化的太阳轮局部故障信号模型[21]为例式中 COS（2∏fmt）为由啮合刚度周期变化引起的基础啮合振动部分;1- cos（2∏fsrt）为太阳轮旋转调幅函数;l+Acos（2∏fst）为太阳轮局部故障调幅函数;Bsin（2∏fst）为太阳轮局部故障调频函数;n（t）为模拟实际工况所添加的背景噪声信号。

设定各项参数如下：啮合频率fm=1024 Hz;太阳轮旋转频率fsr=16 Hz;太阳轮局部故障频率fs=42 Hz;故障的调幅和调频强度设定A=B=0.1;添加均值为O、信噪比为-1 dB的高斯白噪声。信号采样频率fsp=5000 Hz，采样总时间为Is。

对信号进行EMD分解，得到前5个本征模式分量IMFi -IMFs如图3所示。

对各分量进行TEO频率解调，IMFi -IMF5信号的瞬时频率分别围绕频率1 000，8 80，45 0，2 2 0以及115 Hz上下波动。图4为IMFi分量的TEO频率解调结果，由于行星齿轮箱轮齿发生故障时，一般表现为以啮频为载波频率的故障调制现象，因此可认定IMFi是包含故障信息的有效分量信号，选取IMFi作进一步处理。

对IMFi进行TEO幅值解调和FFT运算，得到如图5所示的TEO解调包络频谱，同时图中右上方给出的是IMFi的时域波形。

观察得知：频谱峰值出现在太阳轮旋转频率fsr=16 Hz处，时域波形中出现的较明显周期信号（9T=O. 56 s，f=16. 07 Hz）与其相吻合;故障特征频率fs=42 Hz处的幅值很小。结果表明，信号中太阳轮旋转的调幅作用占据主导，微弱的故障特征被噪声淹没，使用“EMD+TEO解调”方法未能提取到故障特征，需对解调信号做进一步处理。

将含噪解调信号仅当成噪声处理，计算得到信号的噪声方差估计δ2x=0.6 618，噪声强度不满足小参数条件。因此，设定信号的压缩比q=30，以此压缩比对信号进行压缩，得到压缩后信号的噪声方差估计δ2x=7. 35×10_4。信号的采样频率5000 Hz，亦不能满足频率小参数要求，设定频率变换比R=1250，则二次采樣频率fcr=5000/1250=4 Hz。

使用压缩后的信号作为随机共振系统的含噪输入，以二次采样频率确定的步长h=l/fcr =0. 25 s进行数值求解系统输出。对式（5）所示朗之万方程的数值求解采用文献[19]提出的适用于双稳随机共振方程离散求解的四阶龙格一库塔法，概括如下式中 h为步长，x为系统的输出，un为混合噪声与信号的系统输入的第n个点离散数据采样点。

由式（8）计算输出信噪比并作为适应度函数，使用PSO优化得到的随机共振系统结构参数的最优组合为（a=10，b=3. 74），重构得到针对本问题的最优随机共振系统模型。将经过前述方法处理得到的小参数信号重新输入最优随机共振模型，得到仿真信号的随机共振提取结果，如图6所示。

观察可知：在随机共振输出时域波形中，信号的低频周期特征得到了显著的增强;频谱图中，频率成分fs'0. 0336 Hz处出现了明显谱峰，对该成分做R =12 50尺度恢复正好等于太阳轮局部故障特征频率fs=42 Hz。此时的输出信噪比SNRout=28. 62dB，而同样利用式（8）计算的输入信噪比为7.65dB，信噪比增益显著。显然，采用本文所提方法可实现太阳轮局部微弱故障特征的增强输出。

5 实验数据分析

为进一步验证提出方法的有效性，搭建如图7所示的动力传动故障模拟试验台（DDS）。该实验台主要由驱动电机、单级行星齿轮箱、两级平行轴齿轮箱、磁粉制动器以及数据采集模块组成。

如图7所示，在行星齿轮箱太阳轮连续两齿的齿根位置加工切深裂纹，裂纹深度为0.5 mm。该裂纹将使轮齿刚度降低，进而产生故障冲击，因此能较好地模拟太阳轮发生早期故障的情况。在输出端施加1.2 A（约46 N·m）的扭矩负载，驱动电机转速为39. 26 Hz。使用加速度传感器采集行星齿轮箱箱体的振动信号，采样频率fsp=12800 Hz，采样总时间Is。单级行星齿轮箱的齿数参数如表1所示，行星轮个数为4，由齿数参数和输入转速，按下式计算行星齿轮箱各主要特征频率，计算结果如表2所示。式中 fsr，fc，fm，fs分别为太阳轮转频、行星架转频、啮合频率以及太阳轮故障特征频率;Zs，Zr，N分别为太阳轮齿数、内齿圈齿数以及行星轮个数。

利用本文方法，首先进行信号EMD分解，其前5个本征模式分量IMFl -IMF5如图8所示。

对各分量进行TEO频率解调，IMFi -IMFs信号的瞬时频率分别以频率2100，1250，860，400以及220 Hz为中心上下波动。图9为IMF3分量的TEO频率解调结果，注意到IMF3大致围绕啮合频率859 Hz波动，与仿真信号相同的选取原则，确定IMF3为下一步分析的目标分量。

对IMF3做TEO幅值解调和FFT运算，得到如图1 0所示的TEO解调包络频谱，同时图中右上

观察时域波形发现，信号中存在较为明显的周期调制信号，由6T=O.7 s，f=l/T≈8.57 Hz与行星架旋转频fc吻合。由于行星架旋转和太阳轮旋转引起行星轮一内齿圈以及行星轮一太阳轮啮合位置的周期变化，固定位置的传感器采集到的信号受到行星架旋转和太阳轮旋转的调制。反映在频谱图中，各谱线的峰值出现在行星架旋转频率fc和太阳轮旋转频率fsr以及它们的组合频率如fsr-fc处，而故障特征频率fs处未见明显峰值。这一结果表明，微弱的裂纹故障特征完全被噪声淹没，使用“EMD+TEO解调”方法未能提取到故障特征。

将解调信号仅当成噪声处理，噪声方差估计值δ2x=0.4 4 5过大，故对信号进行q= 30倍的压缩，压缩后δ2x0. 445×10_4满足要求;设定R=2560，则二次采样频率fcr为5 Hz，步长h=l/fcr =0.2 s，将信号带人方程（12）求解郎之万方程得到系统输出。

由式（8）计算输出信噪比并作为PSO算法适应度函数，使用PSO算法得到的随机共振系统结构参数的最优组合为（a=11. 122，b=11. 794）。随后，利用最优参数a和b重构双稳随机共振系统。将前述处理后的小参数信号重新输入系统，求解郎之万方程得到系统输出，如图11所示。

观察可知：在随机共振的作用下，时域波形中信号的低频周期性得到显著增强;频谱图中，频率成分fs'=0. 0476 Hz处出现明显峰值，恢复尺度得到f=122 Hz，正好等于太阳轮局部故障频率fs。此时SNRout =25. 62 dB，而同样利用式（8）计算的输入信噪比为-4. 11 dB，信噪比增益显著。结果表明，针对实测振动信号，采用本文所提方法，微弱的太阳轮裂纹故障特征得到了有效提取。

行星齿轮箱由于其结构特点，在无故障条件下也存在明显的调制现象，如行星架调制、太阳轮旋转调制以及可能存在的其他误差调制，且有可能造成对故障状态的误判。为验证本文所提方法的可靠性，对实验采集的一组无故障状态下的振动信号进行分析。EMD分解（目标分量信号为IMF3）以及TEO解调的详细过程不再赘述。PSO寻优获得的随机共振系统参数组合为（a=10. 667，b=ll. 264），此时随机共振输出信噪比为16. 28 dB。給出IMF3的TEO解调包络频谱以及对解调信号的随机共振增强输出结果，分别如图1 2和1 3所示。

由图1 2和1 3可知，相较于含太阳轮裂纹的箱体振动信号，无故障状态下IMF3信号的时域波形较为平稳，无显著的信号冲击，包络频谱中出现行星架旋转频率及其倍频的主导频率成分;区别于故障状态，行星架转频在随机共振的作用下有所增强，而在故障特征频率（fs'=0. 0476 Hz）处，未发现显著高于周围频率成分幅值的谱峰，因此认定齿轮箱无故障。结果表明，所提出方法能够有效地甄别出行星齿轮箱的健康/故障状态，本文所提方法对行星齿轮箱轮齿早期故障的诊断结果是可靠的。

6 对比与讨论

6.1 EMD分解对提取效果的影响

为说明对信号进行EMD分解的必要性，对上述仿真和实验的太阳轮故障信号不经EMD分解，其余信号处理方式相同，同样采用PSO优化参数a和b，对故障特征进行随机共振提取。

对仿真和实验信号，PSO优化得到的随机共振系统结构参数最佳组合分别为（a=8. 563，b=13. 291）和（a=11. 187，b=7.768）。将信号输入重构的随机共振系统得到共振输出，其结果如图14所示。

由图1 4可知，尽管故障特征频率fs'得到了随机共振增强，但对比图6与1 1，其幅值明显偏低，同时出现了较高幅值的干扰频率成分，容易造成对故障状态的误判。

6.2TEO解调对提取效果的影响

为说明对信号进行TEO预解调的必要性，对上述仿真和实验的IMF分量信号不经TEO解调，其余信号处理方式相同，同样采用PSO算法优化参数a和b，对故障特征进行随机共振提取。

对仿真和实验信号，PSO优化得到的随机共振系统结构参数最佳组合分别为（a=9. 818，b=12. 119）和（a=12. 554，a=3.361）。将信号输入重构的随机共振系统，获得如图1 5所示的随机共振输出。

由图1 5可知，对仿真信号的提取结果中，故障特征频率fs'得到了随机共振增强，但是对比图6，其幅值明显更低。对实验信号，尽管故障特征频率fs'处幅值较高，但存在多处较明显的干扰谱峰，其谱线分辨能力对比图1 1较差，不利于故障辨别。

6.3 讨论

为便于比较，表3列出了3种组合方法获得的随机共振输出信噪比指标。

由表3可知，基于本文提出方法获得的随机共振输出信噪比具有明显优势。相比之下，其余两种组合方法，无论是输出信噪比指标还是谱线分辨能力，其诊断效果均较差。对比结果表明，为获得更好的诊断效果，进行故障特征的随机共振提取前对信号进行EMD分解和TEO解调是必要的，这是由于EMD分解的过程实质也是信号降噪的过程，它降低了数据的复杂程度，因此对IMF信号进行随机共振更容易实现故障特征的有效提取。同时由于箱体振动信号本身存在调制特性，而TEO能够很好地提取包含故障信息的解调信号，降低故障提取难度。

7 结 论

（1）提出了一种基于TEO解调与随机共振的行星齿轮箱早期故障诊断方法，成功实现了含太阳轮早期裂纹损伤的行星齿轮箱故障特征的准确提取。

（2）实际工况下的行星齿轮箱振动信号一般不满足经典随机共振的频率及噪声的小参数要求，需对其进行信号压缩和二次采样处理，才可满足系统的小参数条件。

（3）单纯基于EMD+SR的方法或TEO+SR的方法均难以实现行星齿轮箱早期故障的准确提取。

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