小谈生活中有趣的数学概率现象

吕源

摘 要：我们生活中经常会遇到涉及概率运算的问题和現象，从小学起我们就开始有体系的接触学习概率知识，能够根据一定的条件计算某一事件发生的概率。本文介绍了概率这门学科的起源以及发展历程，并比较详细地论述了这门学科中的一些基本概念，如小概率事件、墨菲定律等，然后通过一些生活中关于概率的现象帮助大家更准确地理解概率的概念和应用。

关键词：概率 贝叶斯公式 全概率公式

一、概率学科起源与发展

关于概率的应用与研究很早就有，但真正正式关于随机现象的概率论的研究出现在15世纪之后，当时保险业已经蓬勃发展但很不成熟，保险公司要承担很大的不确定性风险，渴望有精确的计算方法指导保险风险计算，这新方法的渴望却因为15世纪末大规模赌博现象的出现而得到解决。法国数学家帕斯卡和费马系统分析了赌徒朋友提出的“分赌注”问题，并在讨论中形成了概率论中的一个重要概念—数学期望。荷兰数学家惠更斯在听闻他们的讨论过程后整理出版了一本书《赌博中的计算》。之后伯努利发表了《猜度术》，棣莫弗最早使用正态曲线，拉格朗日提出了误差理论，到了1812年拉普拉斯总结之前概率论的众多论述发表了《概率的解析理论》，将古典概率论和数学强有力的结合在一起，并做了很多数学证明，并在书中讨论了概率在保险业、天文学、度量衡甚至法律等方面的应用，自此概率论开始广泛使用在生活中各个方面。

二、概率统计中的一些常用概念

（1）小概率事件

小概率事件一般就是指发生概率很小的事件，在具体的事件中小概率有不同的标准，一般根据事件的重要程度多采用0.01和0.05两个阈值，这两个值也被成为小概率标准。小概率事件和不可能事件是有很大区别的，小概率事件虽然发生的可能性很小，但依旧存在发生的概率，下面通过一个简单的计算分析下两者的不同。假设事件甲发生的可能性很小，为小概率事件，可能性为P甲，很小接近于零，但只要这个事件重复进行下去就总会有可能发生。因为这件事上一次不发生的概率为P=（1-P甲），前n次都不发生的概率为（1-P甲）n，当事件重复进行下去，即n→∞，则前n次发生事件甲的概率则为1-（1-P甲）n→1，事件甲必然会发生。

（2）墨菲定律

墨菲定理是由美国人爱德华·墨菲提出的，它其实是一种心理效应，如果有一种选择方式将导致事件结果变坏，那么无论这种方式被采纳的可能性有多小，则必定有人会做出这种选择。墨菲定理主要论述有：所有的事都会比你预计的时间长；还有你担心可能会出错的事情它总会出错；一旦你担心某件不好的事情发生，那么它就更加可能发生；任何事都没有其表面看起来那么容易解决。墨菲定律虽然是一个心理学定律，但它给我们能够给我们一个警醒，对于全世界而言，任何事件的发生似乎都是必然的。但对于每个个体来说，很多看上去几乎不可能发生的事件，突然有一天这件事就在他身上发生了，对于他这个小概率事件就成了必然事件。所以我们做事情时对于事情可能变坏的再小的可能性也不能掉以轻心，要全力准备，杜绝发生。

（3）贝叶斯公式

贝叶斯公式，也叫逆概率公式、贝叶斯定理，是贝叶斯在论文《机遇理论中一个问题的解》中提出的算法，。在引出贝叶斯公式前先介绍几个高中时有接触过的概念，1）边缘概率，指某事件发生的概率，与其他事件无关；2）联合概率，联合概率指的是两个事件共同发生的概率，P（A，B） ；3）条件概率：又称后验概率，是指事件A在已知事件B已发生的条件下发生的概率，记作P（A|B）。

贝叶斯公式就是基于上述概念推导出来的，公式为；P（A|B）=P（B|A）*P（A）/P（B）。含义就是在事件B发生之前，判断A发生的概率为P（A），称为"先验概率"；在事件B事件发生之后再对事件A发生概率的评估为 P（A|B），称为"后验概率"。"可能性函数"P（B|A）/P（B）是一个调整因子，为了使预估概率更加接近真实概率。

（4）全概率公式

全概率公式首先建立一个完备事件组的思想，其实全概率就是已知第一阶段求第二阶段，比如第一阶段分A B C三种，然后A B C中均有D发生的概率，最后让你求D的概率P（D）=P（A）*P（D/A）+P（B）*P（D/B）+P（C）*P（D/C）。全概率公式是用来计算普通概率的，其与贝叶斯公式的不同之处在于公式计算的对象不同，贝叶斯公式是用来计算简单条件下发生的复杂事件，而全概率公式用来计算复杂事件的概率。

三、生活中有趣的概率现象

（1）神奇的概率问题

关于概率的有趣的问题有很多，很多问题用概率知识计算出的结果会让人非常惊讶。比如一个有名的生日悖论，23个人中至少有两个人的生日相同的概率要大于50%。听起来不敢相信，但经过简单计算后就可得到结果，第二人与第一人生日不同的概率364/365，第三人与前两个生日都不同的概率是363/365....利用乘法原理， 23人生日均不相同的概率约等于0.4927，则至少两人生日相同的概率就大于50 %.

（2）经济生活中的有趣现象

概率计算在经济生活特别是企业管理中有着广泛的应用，很多经济学现象背后也蕴含着概率的知识。在企业进行决策时往往会面对不同的影响因素，要在复杂情况下做出最正确的决策其实就是计算不同决策可能带来不同结果的概率，只用灵活运用概率知识才能达到减小成本，获得最大收益的目的。

（3）彩票中的有趣现象

每个人都幻想过一夜暴富，很多人由此沉迷于买彩票，幻想着通过彩票能走上人生巅峰，但其实彩票问题只要简单的计算就可以认清彩票中奖几乎是一个不可能事件。比如常见的“6+1”型的双色球彩票，中一等奖，也就是所有数字都命中的几率只有十亿分之564，连三等奖概率也只有为十亿分之91417，可见寄希望于彩票中奖是非常可笑的。

结 语

综上所述，生活中很多神奇或者很难理解的问题经过概率的知识分析后就能够简单易懂，而很多看起来很简单的现象却远比我们想象中的要复杂深刻。这就要求我们增加我们概率学知识储备，丰富相关知识，多动脑，多思考，更灵活地使用概率学知识帮助我们更清晰地认识这个世界，做出更加明智的决断。

参考文献

[1] 张洁.浅谈小概率事件的内涵[J].科技风，2018，25：74+76.

[2] 王志刚.概率论在日常生活中的若干应用[J].苏州市职业大学学报，2014，25：53-55.