变性高阶比傅里叶非圆齿轮驱动差速泵设计与试验

徐高欢 刘 武 谢荣盛

(浙江水利水电学院机械与汽车工程学院， 杭州 310018)

0 引言

差速泵是一种新型的容积泵，可以替代大型植保机械常用的柱塞泵、隔膜泵[1-3]，满足大排量和低脉动率的要求，提高施药效果[4-7]。差速泵的工作原理是通过相邻叶片周期性的差速转动，驱动密闭容积腔周期性变化和周向转移，实现差速泵吸液和排液功能[8]。根据叶片的驱动方式不同，目前差速泵主要有转动导杆-齿轮式差速泵[9]、万向节齿轮机构驱动差速泵[10]、非圆齿轮驱动差速泵[11]3种类型。转动导杆-齿轮式差速泵和万向节齿轮机构驱动差速泵由于存在驱动机构较大的冲击、噪声等缺点逐渐被淘汰，而非圆齿轮驱动机构因有较好的运动学和动力学特性[12-14]，成为差速泵的主要驱动形式。目前较好的驱动机构是傅里叶非圆齿轮驱动机构，傅里叶非圆齿轮驱动的四叶片差速泵综合性能已经优于偏心圆-非圆齿轮驱动的差速泵[15-17]，但是通过数值计算和样机试验，经过建模分析，非圆齿轮副的高阶比和节曲线的变性系数可以有效改善傅里叶非圆齿轮驱动六叶片差速泵的性能。

本文提出变性高阶比傅里叶非圆齿轮驱动的六叶片差速泵，对其进行建模、计算软件编写、计算结果分析、试验及性能对比，以得到更优的差速泵驱动方式。

1 变性高阶比傅里叶非圆齿轮驱动的六叶片差速泵计算模型

1.1 六叶片差速泵基本结构和工作原理

高阶比非圆齿轮是指主、从非圆齿轮的阶数比大于1的非圆齿轮副(如阶数比为2∶1、3∶2、4∶3等)。变性是指对节曲线极角进行分段处理，变性系数使节曲线具有局部变形能力[13]。变性高阶比傅里叶非圆齿轮驱动的六叶片差速泵主要由变性高阶比傅里叶非圆齿轮副和六片差速叶轮组成，如图1所示。

图1 6∶3阶变性傅里叶非圆齿轮驱动的差速泵简图Fig.1 Diagrams of six-blade differential pump driven by denatured 6∶3 ratio Fourier non-circular gear pairs1.齿轮箱 2.输入轴 3.输出轴 4.第一变性傅里叶非圆齿轮5.第二变性傅里叶非圆齿轮 6.第一从动非圆齿轮 7.第二从动非圆齿轮 8.轴套 9.联轴器 10.电机 11.泵体 12.第一叶轮 13.第二叶轮

以6阶对3阶变性傅里叶非圆齿轮驱动的六叶片差速泵为例，6阶的第一、第二变性傅里叶非圆齿轮同轴安装，安装角相差30°，节曲线参数相同，作匀速转动，分别驱动3阶第一、第二从动非圆齿轮，带动相连接的第一叶轮和第二叶轮作周期性差动周转，B、D、F腔处于吸液口1、2、3时，第一叶轮转速快于第二叶轮，B、D、F腔容积增大，吸入液体；此时A、C、E腔容积减小，分别从排液口1、2、3排出液体；从动非圆齿轮带动叶轮周转，驱动B、D、F腔内液体逆时针转移，分别转到排液口2、3、1，根据设计的运动规律，此时这3个腔体的容积开始减小，液体在这里排出；A、C、E腔将转到吸液口，腔体的容积开始增大，吸入液体。上述过程不断重复，实现容积泵功能[18]。

1.2 变性傅里叶非圆齿轮的基本数学模型

变性傅里叶非圆齿轮节曲线在一个周期内的方程为[19-21]

(1)

式中n1——节曲线阶数

m11、m12——节曲线的变性系数

a0、a1、b1、a2、b2——傅里叶函数的参数

已知主动变性傅里叶非圆齿轮节曲线方程为r1=r1(φ1)，变性傅里叶非圆齿轮副中心距为a，则传动比函数为

(2)

主动非圆齿轮节曲线方程r1(φ1)、中心距a和传动比i12之间的关系可以表达为

(3)

从动非圆齿轮节曲线方程为

(4)

主动和从动非圆齿轮转角关系为

(5)

(6)

根据节曲线表达式和转角关系得变性傅里叶非圆齿轮节曲线封闭条件[21-22]

(7)

1.3 六叶片差速泵排量、流量和不根切最大模数计算模型

为计算方便，叶片展角为30°，根据六叶片差速泵工作原理，六叶片差速泵的排量为[15]

V=18(Vmax-Vmin)=
9×10-3h(Δψmax-Δψmin)(R2-r2)

(8)

式中 Δψmin——两叶片最小张角，rad

Vmin——封闭腔最小容积，mL

Δψmax——相邻两叶片最大张角，rad

Vmax——封闭腔最大容积，mL

R——叶片半径，mm

r——叶轮轴半径，mm

h——叶片厚度，mm

六叶片差速泵的瞬时流量为

(9)

其中

式中V——单泵排液腔容积变化量，mL

φ1——第一变性傅里叶非圆齿轮瞬时转角，rad

ω——输入轴角速度，rad/s

ψ1——第一叶轮转角，rad

ψ2——第二叶轮转角，rad

i21——第一从动非圆齿轮与第一变性傅里叶非圆齿轮转速比

i43——第二从动非圆齿轮与第二变性傅里叶非圆齿轮转速比

为降低瞬时流量脉动率，通常需要2个六叶片差速泵并联使用，并联的两个差速泵相位差为30°，双泵并联的瞬时流量为

(10)

式中V2——双泵排液腔容积变化量，mL

不产生根切时允许齿轮的最大模数mmax的条件为

(11)

式中α0——齿条刀齿形角

ρmin——非圆齿轮节曲线的最小曲率半径

mmax=0.117ρmin

(12)

1.4 六叶片差速泵设计计算软件

图2 变性高阶比傅里叶非圆齿轮驱动的差速泵设计及性能分析软件Fig.2 Design and performance analysis software of differential pump driven by Fourier non-circular gear

根据建立的变性高阶比傅里叶非圆齿轮驱动的差速泵计算模型，采用Matlab编写性能分析软件，如图2所示。

通过GUI人机交互界面，可以调整节曲线各参数，主要有傅里叶函数的参数a0、a1、a2、b1、b2、n1、n2、节曲线变性系数和泵结构参数。通过该软件可分析差速泵的流量脉动率、流量、排量和不根切最大模数等性能。

2 变性高阶比傅里叶非圆齿轮驱动的六叶片差速泵参数关联性

2.1 阶数比对六叶片差速泵性能的影响

节曲线阶数比直接影响传动比周期，再根据六叶片差速泵相关计算模型，非圆齿轮传动比周期将影响差速泵进出口分布、排量、瞬时流量和非圆齿轮不根切最大模数等。根据数学模型，六叶片差速泵的从动非圆齿轮为3阶，因此本文以3阶从动非圆齿轮为基础，选择性能较好的傅里叶参数，逐级改变阶数比，阶数比变化范围为1∶3～6∶3，叶轮外半径为90 mm，叶轮轴半径为20 mm，叶片厚度为50 mm，进出口和叶片角角度差2°，输入轴转速1 000 r/min，双泵并联相位相差30°，分析阶数比变化对单泵和双泵的脉动率、排量、不根切最大模数和泵结构的影响，对应的节曲线形状如图3所示，差速泵性能比较如表1所示。

(1)当节曲线阶数比为1∶3，主动节曲线和从动节曲线为凸，此时不根切最大模数为1.62 mm，处于中等水平，该值越大说明齿轮承载能力越大。单泵脉动率为155.6%，双泵并联脉动率为25.0%，相比其他六叶片差速泵的脉动率偏高，流量恒定性不理想，而双泵并联排量为8 224.6 mL，是不同阶数比的六叶片差速泵中排量最大的。

(2)在傅里叶参数不变情况下，设置节曲线阶数比为2∶3，此时主动节曲线和从动节曲线出现凹的现象，不根切最大模数为0.68 mm，节曲线不根切最大模数小于1.5 mm，不符合传动设计要求，根据经验方法，传动齿轮模数是中心距的0.02倍以上，而傅里叶非圆齿轮副的中心距一般是a0的2倍，a0取值为35，则根据标准模数表mmax须大于1.5 mm。因此模数0.68 mm不能用于承载传动。为了让傅里叶节曲线凸，调整节曲线参数为a1=5、a2=1，不根切最大模数提高到1.98 mm，此时单泵脉动率为158.0%，双泵并联脉动率为31.1%，脉动率处于高位，不利于流量恒定，容易产生较大流体噪声，此时排量下降为5 563.8 mL。

(3)傅里叶参数不变，当节曲线阶数比为3∶3，此时不根切最大模数为1.29 mm，小于传动设计标准1.5 mm，为此调节傅里叶参数a1=2、a2=1，该参数下的不根切最大模数提高到2.01 mm，非圆齿轮的承载能力提高，但是双泵并联脉动率提高到了32.1%，为最高脉动率，容易产生大的流体噪声，其排量下降到4 596.1 mL，整体性能不佳。

图3 不同阶数比的(凸)节曲线Fig.3 Curves (convex) with different order ratios

编号傅里叶参数节曲线阶数节曲线凹凸单泵脉动率/%双泵并联脉动率/%双泵并联排量/mL不根切最大模数/mm最小封闭腔角/(°)1a0=35;a1=10;a2=5;b1=0.02;b2=0.15n1=1n2=3(低阶比)主动∶凸从动∶凸155.625.08224.61.62222a0=35;a1=10;a2=5;b1=0.02;b2=0.15n1=2n2=3(低阶比)主动∶凹从动∶凹161.316.45563.80.68143a0=35;a1=5;a2=1;b1=0.02;b2=0.15主动∶凸从动∶凸158.031.15563.81.98144a0=35;a1=5;a2=1;b1=0.02;b2=0.15n1=3n2=3(等阶比)主动∶凸从动∶微凹159.629.94596.21.29225a0=35;a1=2;a2=1;b1=0.02;b2=0.15主动∶凸从动∶凸158.332.14596.12.01226a0=35;a1=2;a2=1;b1=0.02;b2=0.15n1=4n2=3(高阶比)主动∶微凹从动∶微凹119.124.73991.41.47277a0=35;a1=2;a2=0.5;b1=0.02;b2=0.15主动∶凸从动∶凸118.226.73991.41.95278a0=35;a1=2;a2=0.5;b1=0.02;b2=0.15n1=5n2=3(高阶比)主动∶微凹从动∶微凹94.620.13991.41.51279a0=35;a1=1;a2=0.5;b1=0.02;b2=0.15主动∶凸从动∶凸93.521.63991.41.972710a0=35;a1=1;a2=0.2;b1=0.02;b2=0.15n1=6n2=3(高阶比)主动∶凸从动∶凸77.418.93749.52.2629

(4)当节曲线阶数比为4∶3，此时不根切最大模数为1.47 mm，小于传动设计标准1.5 mm，为此调节傅里叶参数a1=2、a2=0.5，该参数下节曲线的不根切最大模数提高到1.95 mm，此时的单泵脉动率为118.2%，相比等阶比节曲线降低25.3%，双泵并联脉动率为26.7%，降低16.8%，因此节曲线的高阶比可以大幅度改善脉动率，而排量的降幅较小，双泵并联排量为3 991.4 mL，该值可以通过提高输入转速来改善。为此傅里叶非圆齿轮的高阶比是提高差速泵性能的重要途经。

(5)当节曲线阶数比为5∶3，此时节曲线出现微凹，不根切最大模数为1.51 mm，该值处于设计临界值，为提高非圆齿轮的承载能力，调节傅里叶参数a1=1、a2=0.5，不根切最大模数提高到1.97 mm，单泵脉动率为93.5%，双泵并联脉动率为21.6%，双泵并联排量为3 991.4 mL，表现出较好的差速泵性能。

图4 不同变性系数的节曲线Fig.4 Pitch curves with different denatured coefficients

(6)当节曲线阶数比为6∶3，主、从动非圆齿轮节曲线均为凸曲线，不根切最大模数为2.26 mm，这是不同阶数比中的最高值，非圆齿轮的承载力最优；单泵脉动率为77.4%，双泵并联脉动率为18.9%，在凸节曲线中脉动率最低，实现输出流量最恒定。双泵并联排量为3 749.5 mL，该值可以通过提高差速泵输入转速进一步提高。

通过对差速泵不同傅里叶非圆齿轮阶数比的性能比较，傅里叶非圆齿轮的高阶比可以大幅度提高节曲线的不根切最大模数，有效提高非圆齿轮的承载能力。同时可以大幅度降低脉动率，理论上可以降低流体噪声。因此高阶比是傅里叶非圆齿轮驱动的差速泵性能提高的重要途经。

2.2 节曲线变性系数对六叶片差速泵性能的影响

节曲线变性系数的变化会影响驱动非圆齿轮的局部传动比，根据计算模型，传动比将影响齿轮的不根切最大模数、泵的进出口分布、瞬时流量、脉动率和排量等重要性能指标。为研究变性系数的影响，节曲线的傅里叶参数不变，逐步调节节曲线变性系数。本文以6∶3阶数比为基础，选择性能较好的高阶比傅里叶参数a0=35、a1=1、a2=0.2、b1=0.02、b2=0.15，变性系数从1.0～1.5进行调节，分析变性系数变化对单泵和双泵的脉动率、排量和不根切最大模数的影响，如表2和图4、5所示。

表2 不同变性系数时单泵和双泵的脉动率、排量和不根切最大模数Tab.2 Comparisons of effects of denatured coefficients on pulsation rate, displacement and maximum modulus of non-undercutting of single and double pumps

节曲线变性系数从1.0～1.5按0.1递增，节曲线局部出现变形，出现不对称特性，如图4所示。单泵脉动率随变性系数增加而减小，双泵并联脉动率呈现比例递增趋势，具体趋势如图5a、5b所示。主要原因是节曲线变性量增加，节曲线局部变形引起传动比改变，单泵流量曲线局部波动变小，单泵脉动率降低。而双泵脉动率提高，是因为节曲线的对称性变差，双泵叠加的最佳相位随变性系数变化，而目前是30°固定相位，为此波峰和波谷没有最佳叠加，导致双泵脉动率随之递增。随节曲线变性系数的递增，排量呈阶梯下降趋势，不根切最大模数呈比例递减趋势，具体趋势如图5c、5d所示。排量减少主要原因是节曲线变性引起进、出口位置变化，导致有效容积减少。不根切最大模数变小主要是局部变形引起节曲线最小曲率半径变小(图4)，最终导致不根切最大模数按比例变小，为满足传动和承载的要求，节曲线变性量不宜超过1.3，因此节曲线变性系数在1.0～1.3可以作为差速泵设计和优化的参数之一。

图5 变性系数变化对单泵和双泵特性参数的影响趋势Fig.5 Influencing trends of variability coefficients on characteristic parameters of single and double pumps

3 不同傅里叶非圆齿轮驱动差速泵性能试验

变性高阶比傅里叶非圆齿轮驱动的六叶片差速泵与普通傅里叶非圆齿轮驱动的四叶片差速泵性能进行试验比较。为了具有可比性，六叶片和四叶片差速泵泵壳容积相同，选用经过四叶片差速泵多目标优化的傅里叶参数为基本节曲线参数[16]。

差速泵试验台动力为5.5 kW电机，通过变频器进行调速控制，变频器设定输入轴转速为400 r/min，电机和差速泵之间安装转速测量传感器。由于泵源流量脉动无法使用流量计直接测量，只能采用间接测量方法。经过试验发现，差速泵流量脉动引起的脉动压力对叶轮输入轴有周期性冲击作用，该作用会导致输入轴的微应变均值增大。因此在相同负载及管路环境下，叶轮输入轴的微应变均值可以用于间接比较不同差速泵泵源脉动强度。为此试验使用TQ201型无线传感器和应变片组成的惠斯通桥式电路测量差速泵第一叶轮输入轴的微应变，将数据实时无线传输到网关，采集软件记录第一叶轮输入轴的微应变数据点，再通过计算微应变均值间接反映差速泵流量脉动强度。试验台构建如图6～8所示，性能比较如表3所示。

图6 试验用傅里叶非圆齿轮Fig.6 Fourier non-circular gears for test

如图6所示，6∶3阶变性傅里叶非圆齿轮和从动非圆齿轮更接近圆形，节曲线最小曲率半径更大，为此不根切最大模数较大，变性系数为1.1时，相比1∶2阶傅里叶非圆齿轮增加27.7%，单个轮齿可以更厚实，有利于齿轮承载。六叶片设计增加了吸、排液次数，单次吸排叶片旋转角更小，如图9所示，六叶片差速泵在一个旋转周期的波峰和波谷数量增加，流量波动密集，相比四叶片差速泵由流量脉动引起的第一叶轮输入轴微应变均值降低35.2%，也反映差速泵脉动降低明显。而其排量变化不大，仅下降1.2%。可见变性高阶比傅里叶非圆齿轮驱动的六叶片差速泵优于普通傅里叶非圆齿轮驱动的四叶片差速泵。

图7 驱动非圆齿轮及应变片安装Fig.7 Driving non-circular gear and strain sheet1.TQ201型无线传感器 2.主动非圆齿轮 3.从动非圆齿轮 4.应变片桥式电路

图8 非圆齿轮驱动的差速泵试验台Fig.8 Differential pump test-bed1.泵体 2.非圆齿轮箱 3.扭矩仪 4.数据采集仪 5.无线网关 6.电机 7.微应变采集软件 8.变频器

叶片数节曲线阶数变性系数第一叶轮轴微应变均值排量/(L·min-1)容积效率/%不根切最大模数/mm最小封闭腔角度/(°)4n1=1 n2=2(低阶比)1.0141.2318.4871.55226n1=6 n2=3(高阶比)1.191.5314.7891.9829

图9 瞬时流量曲线对比Fig.9 Comparison of instantaneous flow curves

4 结论

(1)根据差速泵原理，建立变性高阶比傅里叶

非圆齿轮传动数学模型，建立六叶片差速泵排量、流量和不根切最大模数计算模型，编写变性高阶比傅里叶非圆齿轮差速泵性能计算软件。

(2)分析不同阶数比和不同变性系数下的差速泵不根切最大模数、排量和脉动率等性能，结果表明，非圆齿轮高阶数比有利于提高差速泵性能，变性系数改变有利于降低单泵脉动率。

(3)变性高阶比六叶片差速泵与普通傅里叶非圆齿轮驱动的四叶片差速泵进行试验研究，六叶片差速泵在泵壳容积相同情况下，不根切最大模数增加27.7%；由流量脉动引起的第一叶轮输入轴微应变均值降低35.2%，也反映变性高阶比差速泵脉动降低明显；相比四叶片差速泵，其排量变化不大，仅下降1.2%。随变性系数增加，单泵脉动率将进一步降低，双泵脉动率有望通过改变叠加相位进一步降低，因此变性高阶比非圆齿轮驱动差速泵更适用于低脉动、大载荷工况。