教材分析的四条基本逻辑线——以人教版“单调性与最大（小）值”为例

潘 超，吴立宝

（1.重庆第二师范学院数学与信息工程学院，重庆 400067；2.天津师范大学教师教育学院，天津 300387）

教材分析是教学系统中教学设计的基础性工作，是体现教育学、心理学理论与实践操作紧密结合的重要工程。它最重要的作用是为后续的教材处理提供依据，为教学设计做好铺垫。掌握恰当的教材分析方法能提高教学设计的成效，对实施有效教学具有奠基意义。但是，许多中小学教师忽视教材的价值，对教材分析并不重视，难以抓住要点，有序开展分析。教材是课程的载体，主要包括教科书（教师用书、学生用书）、教学参考资料、教具与学具等教学材料。其中，教科书是教材的主体，承载着课程的目标、内容、实施和评价要素。[1]虽然有时教材被当作创造性解决问题的资源或学生自学的材料，但教材的主要功能还是作为传授权威知识的储库。[2]而权威知识的储库要很好地开发出来就必须要重视教材分析。这里，我们所称的教材分析是以教科书为主要分析对象，参照课程标准和教学参考资料，按特定的要求，对教材的内容、编排意图等实施要素分析、结构分析、原理分析的过程。教材分析不仅要考虑目的、要素、对象、过程、特点等因素[3]，还要考虑教材分析的逻辑线索。

教材分析的逻辑线索附着于实质性的教材内容，包括文字、符号、图表等显性结构所呈现的内容，还包括知识、教学、学习等隐性结构所蕴含的意义、原理、思想等深层内容。[4]教材分析的逻辑是教学系统中教学逻辑的另一形态，仍然存在潜在的主客体关系的动态转换关系。而知识逻辑、教学逻辑、学习逻辑和认知逻辑是构成教学系统的逻辑要素，四个逻辑间相互运演，教学要素关系变迁，促使教学系统达到有序化。[5]相应地，教材分析作为教学系统的一个子项内容，应该遵从这四个逻辑的相互运演关系。教材分析者将亲历把教材内容从静态形式激活到动态形式，再沉淀为静态形式的过程，实现教材话语体系向教师话语体系转化，以及教师话语体系向学生话语体系转化的递进顺序。从教学逻辑视角来看，教材分析本质上是以知识逻辑、教学逻辑、学习逻辑和认知逻辑为线索。教学逻辑的四个逻辑组块为教材分析提供四条可供操作的分析线索，即教材分析的知识逻辑线（知识线knowledge line：K-L）、教学逻辑线（教学线teaching line：T-L）、学习逻辑线（学习线learning line：L-L）和认知逻辑线（认知线cognition line：C-L），其逻辑结构见参图1。这四条分析线构成了教材分析的基本逻辑线索，它们经过循环、交织、组合等可以得到教材分析的多种变式结构。因而，这四条分析线实为基本的逻辑分析线。一般说来，分析教材时，可以按照“知识线——教学线——学习线——认知线”的基本顺序进行。

图1

“单调性与最大（小）值”是高中数学中很典型的一节内容，该节在人教版教材中处于必修一“第一章集合与函数概念”的第三节内容，下面以该节内容为例，谈谈教材分析的四条逻辑线，以及如何按照这四条逻辑线进行教材分析。

一、教材分析的知识逻辑线

教材编写是遵从一定的学科知识体系的，因此，教材分析的首要逻辑线就是学科知识线。从知识逻辑线分析教材时，主要分析教材包含的学科知识内容，解决“是什么”的基本问题。其要点有：厘清教材呈现的学科知识，找准新知识的生长点和来龙去脉；厘清整节内容在教材体系中的地位和作用，分清教材内容的重点。其中，最核心的要点是分析知识体系和教材重点。

1.分析知识体系

分析知识体系是指按照知识逻辑线，剖析教材内容的知识结构和逻辑关联，以及把握学科知识的本质内涵。在操作上，一般可以从宏观和微观两个角度着手。宏观角度上，要确定本节内容在教材体系中的地位和作用。通过分析本节教材的主体内容及与之直接或间接相关的前、后章节内容，确定学习本节内容所需要的学科基础知识和方法，以及对后续学习内容的具体作用。用“十字模型”来凸显本节教材内容在教材体系中的地位和作用，用知识网络结构图来刻画本节知识点之间的关联。“函数的单调性”是反映函数变化规律的一个最基本的性质，是对函数概念的延续和拓展，也是后续研究几类具体函数和解决与函数相关的综合问题的基础和工具，对学生进一步研究其他函数性质起示范和引领作用（如图2所示）。微观角度上，要确定本节教材所含的知识内容及其知识结构。操作方法就是梳理本节教材所含的知识点（块）、涉及的方法等，并寻找各知识点（块）之间的关联，总结其知识结构，形成知识点的网络结构图。“单调性与最大（小）值”一节，在知识层面上，主要对增函数、减函数、最大值进行了严格定义，对其他相关概念给予适当说明；在方法层面上，举例说明了用图像法、定义法判断函数单调性的方法和如何用函数的单调性求函数的最大（小）值（参见图3）。

图2 本节教材内容在教材体系中地位

图3 本节教材内容的知识网络结构

2.分析教材重点

分析教材重点是指按照知识逻辑线，在把握教材体系基础上，剖析教材各种知识组块的主体部分，判断最基本、最核心的教材内容。在操作上，可以通过教材内容的知识网络结构和挖掘教材知识层面的设置意图来分析出教材重点，为确定教学难点奠定基础。如图3中的知识网络结构所示，判断函数的单调性的本质是联系函数的单调性与函数最值问题的纽带，而判断函数单调性的本质又依赖于增（减）函数的判定。增（减）函数概念的定义方式是关系定义，用形式化的数学语言描述其内涵，具有较高程度的抽象性。所以，教材体系中，用形式化语言刻画增（减）函数是知识板块的主体和关键内容，突破增（减）函数概念的教学会使该节其他内容的教学变得更容易。因此，本节教材的核心内容是增（减）函数、最大（小）值的定义及其应用，并且增函数、减函数的形式化定义是判断函数的单调性和解决最大（小）值问题的关键。由此，我们可以得到本节的重点知识是增（减）函数、最大（小）值的定义和判断函数的单调性以及求一些函数的最大（小）值。另外，观察函数图像时，一般先注意到的是图像的上升或下降性态，然后才是图像在某些特殊位置的状态，所以教材在顺序上首先安排刻画函数整体特征的单调性，再安排函数的最大值、最小值，以及后边的零点问题等。

综上，“函数的单调性”是反映函数变化规律的一个最基本的性质，是对函数概念的延续和拓展，也是后续研究几类具体函数和解决与函数相关的综合问题的基础和工具，对学生进一步研究其他函数性质起示范和引领作用。该节内容主要对增（减）函数、最大（小）值进行了严格定义，对其他相关概念给予适当说明；在方法层面上，举例说明了用图像法、定义法判断函数单调性的方法和如何用函数的单调性求函数的最大（小）值。其中，重点知识是增（减）函数、最大（小）值的定义和判断函数的单调性以及求一些函数的最大（小）值。

二、教材分析的教学逻辑线

教材编写具有一定情境性，教材将教学的学科知识内容“浸泡”在丰富的教学情境中，“如何教”的基本问题在教材情境中呈现出一条线索，即教学逻辑线。按照教学逻辑线分析教材，从教师教的角度去思考教学问题，要明确教材设计的教学思路，明确教材中预设的关键性问题，明确教材是如何引导学生思维的，采取什么样的教法等。

1.分析教学思路

分析教学思路是指按照教学逻辑线，从教师教的视角，剖析教学内容与教师教学行为的统整线路，为教学环节的安排和教学方法的选择奠定基础。在操作上，围绕教材的重点梳理出教材的主要结构。如对概念内容，剖析出概念的引入、概念的定义、概念的辨析、概念的应用等主要的教学结构；对命题内容，剖析出命题的引入、命题的证明、命题的应用等主要的教学结构。“单调性与最大（小）值”教材中，特别重视让学生经历概念的形成过程。一定要充分利用好函数图像，让学生观察图像而获得对函数基本性质的直观认知，充分体现了数形结合的思想，渗透直观想象素养。具体而言，学生函数单调性概念的形成经历了“三步曲”：第一步，观察函数图像，描述函数图像的“上升”“下降”特征。以学生熟悉的一次函数f(x)=x和二次函数f(x)=x2为例，给出函数的图像，让学生从图像获得“上升”“下降”的整体认识。第二步，结合图表，用自然语言（变量的数据变化）描述函数图像特征。针对二次函数f(x)=x2给出下面的表格（参见表1）。结合表1，引导学生用自然语言描述图像特征“上升”“下降”，即图像在y轴左侧“下降”，也就是在区间(-∞,0)上，随着x的增大，相应地f(x)随着减小；图像在y轴右侧“上升”，也就是在区间(0,+∞)上，随着x的增大，相应地f(x)也随着增大。第三步，用数学符号的语言描述增（减）函数的形式化定义。首先，用数学符号的语言描述f(x)=x2在区间(0,+∞)上是增函数的定义。这里要解决的关键问题是，在研究区间上如何用简捷的方法来刻画函数变量之间的变化趋势，保证其“任意性”，也即“怎么样”和“为什么”取自变量的两个值，并比较函数值的大小来描述f(x)=x2的单调性。然后，用数学符号的语言描述一般函数在某个区间的增（减）函数定义，实现由特殊到一般，由具体到抽象的数学抽象思维。

表1 二次函数 f (x )=x 2取值表

函数的单调性定义的“三步曲”是教材内容呈现的顺序，也是教材编写的明显意图。教学时，要特别重视从几个实例的共同特征到一般性质的归纳概括过程，并引导学生用形式化的数学语言来加以表达。这往往是形成数学概念，培养学生探究能力的契机。本节教材体现的教学思路与教学结构是以函数单调性定义的“三步曲”为主体，总体上，以“概念→应用→拓展”为线索，具体如图4所示。

2.分析教学方法

图4 教材体现的教学思路与教学结构

分析教学方法是指按照教学逻辑线，在梳理出教材教学思路基础上，为实现教材体系内容转化为教师教学语言体系而确定所使用的方法和手段，为后续学生的学习活动和学法指导做铺垫。在操作上，分析者将确定采用具体的手段和行为要素将教学内容串接起来。增（减）函数概念教学的“三步曲”中，教师主要引导学生观察、归纳出函数图像的变化特征，引导学生分析数据规律，讲解出变量之间存在的变化关系，以及启发学生从特例中提炼出一般规律，探究出如何用“任意两点”的简捷方法来刻画函数变量之间的变化情况，进而用形式化的数学语言进行描述。整个过程主要用到分析、讲解、归纳、探讨等多种要素，因此，教师使用的教学方法主要包括讲解法、探究法等；在研究函数图像的变化情况和函数变量关系时，可以采用“几何画板”工具辅助教学，让学生直观感受到其中的规律；在函数单调性的应用中，教师通过两道例题引导学生巩固增（减）函数的定义，会用图像法和定义法判定函数的单调性。该过程主要通过应用来巩固新学知识，同时尝试解决简单的单调性相关问题。例1是为了强化图像法判定函数单调性以及指出单调区间。例2是为了利用函数的单调性证明物理学重点玻意耳定律，让学生感受到函数单调性的初步应用；表明用函数的单调性定义证明函数在某个区间上单调性的基本步骤。在这个环节中，重点是函数单调性的定义法的应用；在函数的最大（小）值的教学中，本质上是函数单调性知识的拓展应用，重点是用函数的单调性去解决函数的最大（小）值问题。教师首先引导学生结合图像来理解最大（小）值的定义。然后，用数形结合的思想及函数单调性的性质求最大（小）值。

综上，我们可以认识到，本节教材特别重视让学生经历概念的形成过程，教学思路与教学结构是以函数单调性定义的“三步曲”为主体，以“概念→应用→拓展”为线索；主要采用讲解法、探究法等教学方法，适当采用“几何画板”软件辅助教学。

三、教材分析的学习逻辑线

教材是基于学生的学科现实、生活现实背景编写的，符合学生学习的一般规律和成长特征。它为学生的学习活动提供基本线索，基本内容和主要的活动机会，是教学的重要资源。[6]教材分析的一条逻辑线就是学习逻辑线。按照学习逻辑线分析教材，学会换位思考，从学生的视角揣摩“如何学”的基本问题，其主要要点有：分析教材如何突出重点、突破难点知识的，如何安排各种学习活动的，学生是否适应教材的各种安排等。

1.分析学习难点

分析学习难点是指按照学习逻辑线，在确定教材知识体系和教材重点基础上，从学的视角来剖析学生不易理解的知识，或不易掌握的技能技巧。在操作上，主要分析新内容与学生已有的认知水平之间的落差情况。如果落差较大，则将其确定为学习难点。由于未学习导数与微分，学生对于函数的单调性这一知识点所借助的直接经验不多，因此，增（减）函数概念的形式化定义过程是学生学习的一个难点。教材安排上只能从图像的变化进行直观理解，随后再用准确的数学符号语言刻画图像的“上升”和“下降”情况，这是一个从形到数的“翻译”、从感性到理性、从直观到抽象的认识突破过程，这也是中国数学教材以直观性强的知识为主的具体体现。[7]另外，函数单调性的证明也是学生学习的一个难点，因为，学生在函数学习中第一次接触到的代数论证形式，在这方面的推理论证能力还比较弱，尤其是有条理地表达推理论证过程的能力。

2.分析学习活动

分析学习活动是指按照学习逻辑线，在确定学习难点的基础上，为实现教师教学语言转化为学生学习语言而预设的学习活动，特别是为消减学习难点而搭建合适的进阶。在“单调性与最大（小）值”一节中，学生要理解两组定义（增函数、减函数、单调性、单调区间；最大值、最小值）和解决两类问题（判断函数的单调性；求函数的最大值或最小值）。根据本节知识的重点内容和学生学习难点，学生通过三个“探究”来完成增（减）函数概念的建立和理解；通过两个“题组”的练习来强化函数单调性的理解和应用。

探究1根据表格数据（表1二次函数f(x)=x2的取值表），如何用函数变量关系描述函数图像的“上升”“下降”变化情况呢？

探究2（形式化语言描述变化）如何利用函数解析式f(x)=x2来描述“随着x的增大，相应地f(x)随着减小”“随着x的增大，相应地f(x)也随着增大”。

其中，探究3让学生进一步理解函数单调性中的“任意性”，同时启发学生获得感悟：通过观察图像，先对函数是否具有某种性质做出猜想，然后通过逻辑推理，证明这种猜想的正确性，是研究函数性质的一种常用的方法。

题组1（教材练习1,2,3,4）：练习1是初步感受函数单调性的意义，学会用数学语言描述变量规律；练习2是在练习1的基础上用数学单调性的图像语言描述生活中气温变化规律；练习3是承接例1强化图像法判定函数单调性以及指出单调区间，与练习2相反的角度来强化函数单调性和单调区间；练习4承接例题2强化用定义法判定函数单调性。

题组2（教材练习5）：练习5是承接例3,4并在练习1,2,3的基础上，尤其是掌握练习2中的画图方法基础上，强化数形结合的方法探求最大（小）值的方法。

综上，本节中增（减）函数概念的形式化定义和函数单调性的证明是学生学习的难点；学生主要进行三个探究和两组练习的学习活动来完成理解两组定义和解决两类问题，经历“作图、观察、归纳、总结”“分析、讨论、描述”“练习”等系列学习活动。

四、教材分析的认知逻辑线

教材编写一般要体现认知目标的定位和达成措施，因此教材分析中还蕴含一条认知逻辑线，即从目标定位到目标达成的逻辑线。按照认知逻辑线分析教材，能了解到学生在学习过程中或学习后在知识与技能，过程与方法，情感、态度、价值观等单个或多个目标点上发展的大致定位。按照认知逻辑线分析教材就是要从预想中解决学生学得“怎么样”的基本问题。在操作上，主要对两个问题进行具体分析：第一，学生在认知上应该有怎么样的目标定位？第二，学生通过怎么样的方式达成目标？对于这两个问题，可以从课程目标意志和教材着力体现的认知目标来分析。

1.分析目标定位

认知目标的定位和评价应作为教材的一个有机组成部分贯穿在每一章的学习。[8]认知目标是章节内容存在的依据所在，也是教材意图的集中体现，因此，分析认知目标是凝练教学目标的基础。在操作上，可以在整体把握课程标准的目标定位基础上，继解决“是什么”“如何教”“如何学”的问题后，深入分析教材在知识、技能、过程、方法、情感、态度、价值观等目标点的体现，特别是关于前四个目标点的情况。在“单调性与最大（小）值”一节中，基于该节教材知识体系和教材内容的“三步曲”呈现路径，可以分析得到教材在学生认知目标上有如下预设：

（1）建立增（减）函数的概念：通过观察一些函数图像的升降，形成增（减）函数的直观认识。再通过具体函数值的大小比较，认识函数值随自变量的增大（减小）的规律，由此得出增（减）函数的定义。掌握用定义证明函数单调性的基本方法与步骤。

（2）经历探究的过程，学会思考：函数单调性的研究经历了从直观到抽象，从图形语言到数学语言，理解增函数、减函数、单调区间概念的过程，在这个过程中，让学生通过自主探究活动，体验数学概念的形成过程，使学生形成数学思考的基本方法，培养学生的数学思维能力。

（3）掌握判定函数单调性和求函数最值的方法：学生在理解增（减）函数定义的基础上，掌握用图像法和定义法判定函数的单调性，进而会利用图像和函数的单调性求函数的最大（小）值。

2.分析目标达成

目标达成是从静态的教材语言体系向静态的课程目标的直接转化和从动态的教学话语体系向静态的课堂目标的间接转换过程和方式。分析教材对目标的达成过程和方式能为教学的实施提供有利的参考。教材在建立增（减）函数的概念过程中，采用图像语言让学生认识到函数图像的“上升”“下降”变化趋势，直观认识到函数单调性的意义，与此对应，图像法作为了判定函数的单调性以及求函数的最大（小）值的一种方法。在这个过程中，教材预设了对直观想象核心素养的培育过程。而学生对于如何用形式化语言刻画增（减）函数的定义通常会有困难，并且如何用这种形式化语言证明函数单调性也不容易。为了突破这些难点，教材在给出直观认识基础上，研究函数f(x)=x2在(0,+∞)上的数据变化规律，形成单调性的定性认识：“在某区间上，随着自变量x的增大，相应地函数f(x)的值也随着增大”。随后，再通过定量方式探索“对于(0,+∞)上任意的x1，x2的值，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)”，形成刻画函数单调性的形式化语言。整个过程经历了“三步曲”，渗透了数学运算、数据分析、数学抽象的核心素养培育过程。同时，在此过程中，学生加深了对已学过的一次函数、反比例函数、二次函数的理解，归纳出这三类简单函数的单调性（参见表2），把已学知识和新学知识形成知识网络，再次经历简单建模过程。

表2 三类简单函数的单调性

综上，从认知逻辑线分析可以看出，教材在目标定位上主要在知识层面和过程与方法层面进行了设定，并通过特定的方式，如渗透核心素养的培育过程来落实认知目标。在知识层面上，学生建立增（减）函数的概念，并加以理解；在过程与方法层面上，学生经历探究的过程，学会思考，掌握判定函数单调性和求函数最大（小）值的方法。

知识逻辑线、教学逻辑线、学习逻辑线、认知逻辑线这四条教材分析线索是按渐进思维顺序展开的，分别主要解决“是什么”“如何教”“如何学”“怎么样”四个基本问题，使教材分析按照问题解决的线索延伸出去并向纵深方向发展，因此，四条逻辑主线在本质上是按照问题解决的主线展开的。四条逻辑线是基于教材分析的学科知识、教师教学、学生学习、考核评价的四个视角延伸出来的[9]，它们共同构成了教材分析的主体模型（参见图5）。从案例中可以看出，按照这个模型分析教材时，我们需要抓住八个分析要点，即知识体系分析、教材重点分析、教学思路分析、教学方法分析、学习难点分析、学习活动分析、核心素养分析和认知目标分析。一般来说，当我们分析了八个要点时，对教材就能得到较为全面的理解。教师在分析教材时不仅要按照这种逻辑线索开展，还要结合教学的实际需求对教材进行合理重组、创造[10]，此外，分析教材还要根据具体的教材内容采用一些策略，比如目标化策略、结构化策略、生活化策略、主体化策略、教学程序化策略、工具化策略、纵横比较策略、反思性策略等[11]，以保障教材分析的充分性、系统性和有效性。▲

图5 教材分析的主体模型