圆周率是怎样算出来的？

梁衡

祖冲之在为古代数学名著《九章算术》作注时，接触到圆周率问题，便被困扰得坐卧不安。他住所雪白的粉墙上，被画了一个大大的圆圈，地上也是大圈套小圈，桌上到处是纷乱的稿纸。他背着手在房间里踱来踱去，一会儿好像自己走进了墙上那个大圆圈中，一会儿又好像桌上那一堆圆圈一齐涌进自己的脑子里，如一团乱麻。唉，这周径之比是如何得出来的呢？他又回到桌前抽出刘徽注的那本《九章算术》，坐下来边读边想。

这时屋里还有一个十三四岁的男孩，他是祖冲之的儿子，叫祖暅。别看他小小年纪，却天资聪颖，戏耍之余常爱在父亲身边推算那些数字和图形。今天他看到地上这许多圆圈，感到很新鲜，便单腿在圈里跳起来。突然听到父亲拍案喊道：“有了！”祖暅被吓了一跳，忙跑过去拉着父亲的衣袖问道：“什么有了？”“办法有了。暅儿，你看刘徽这里不是明明写着割圆术吗？只要将一个圆不断地割下去，内接上正多边形，求出多边形的周长，不就有了圆周率了吗？暅儿，你会吗？”

“我会，用爸爸教过的勾股定理一一去求就是了。”

“道理简单，算起来可就费劲了。从今天起，咱爷儿俩就来办这件事，你可要十分仔细啊。”

说完，祖冲之到院里搬来几根大竹子，操起一把刀将它们破成细条，又将它们一一斩成短截，整整干了两天，地上堆起了一座竹棍的小山。现在听起来奇怪，搞计算怎么先干起竹木活来了？原来，当时既没有阿拉伯数字可以笔算，也没有算盘可以珠算，运算全靠一种叫算筹的原始工具。它是用竹木削成的一根根小棍，用来拼摆成各種数字。数字纵横两式，个位、百位、万位用纵式，十位、千位用横式。一切加、减、乘、除全靠用这些木棍在桌上摆来摆去。今天遇到这么大的算题，平时的那些算筹哪里够用？

祖冲之将这一切准备停当之后，便在地上画了一个直径为一丈的大圆，将圆割成六等分，然后再依次内接一个12边形、24边形、48边形……他都按勾股定理用算筹摆出乘方、开方等式，一一求出多边形的边长和周长。你想这祖冲之何等聪明，他知道圆周率是周长与直径之比，所以就把直径定为一丈，这样就省掉再除一次的程序，不断求出多边形的周长，也就不断逼近圆周率了。祖暅也在那个大圆圈里跳进跳出地帮他拿算筹、记数字。就这样，祖冲之直算得月落乌啼，直算得鸡鸣日升。那竹棍摆成的算式从桌上延到地下，他又满地转着圈子，最后一屋子上下全都是些竹码子。这批算筹又都是些新破的竹子，还没有来得及打磨，祖冲之用手捏着，想着、摆着，不消几日，指头渐渐都被磨破，那绿白相间的新竹竟染上了红红的血印。

他们父子这样不分昼夜地割拱算商。这天，他们割到第96份，真是如攀险峰，愈登愈难。当年刘徽就是到此却步，而将得到的3.14定为最佳数据。夜静更深，小祖暅早已眼皮沉重，东倒西歪地想睡了。祖冲之想，这些日子也实在辛苦了这孩子，便忙打发他去睡觉。他推开窗户，深吸了几口这建康城里夜深时分甜甜的空气，看了一回星空，又转过身来看看地上那个大圆。那内接的96边形，与圆都快接近于重合了。按说能算到这一步已经实在不易，用这个数字再去为《九章算术》作注，也就完全可以了。

忽然，一阵夜风吹起窗幔，把竹筹摆起的许多算式扫得七零八落，抛洒一地。要知每算一遍就要进行十一次加减乘除和开方，多么繁重的劳动啊！父子俩只好又重新摆布，不知过了多少天，终于把地上那个大圆直割到24576份，这时的圆周率已经精确到3.14159261。祖冲之知道这样不断割下去，内接多边形的周长还会增加，更接近于圆周，但这已到了小数点后第八位，再增加也不会超过0.00000001丈，所以圆周率必然是3.1415926<π<3.1415927。当时祖冲之就把圆周率定在“上下二限”之间。这上下限的提法确是祖冲之首创，他得出的圆周率精确值在当时世界上已遥遥领先，直到一千年后才有阿拉伯数学家阿尔卡西的计算超过了他。所以国际上曾提议将圆周率命名为“祖率”。

（选自2018年第8期《大众科学》，本刊有改动）