构造基本图形巧解题

周林超

问题 如图1，E是直线AB，CD内部一点，AB∥CD，连接EA，ED。

探究猜想：

①若∠A=30°，∠D=60°，则∠AED等于 °；

②猜想图1中∠AED，∠BAE，∠EDC的关系，并说明你的理由。

本题是由2018年随州市中考题改编而来，是一道从特殊角的计算，到一般结论的猜想与说理题。周老师就问题②猜想的结论∠AED=∠BAE+∠EDC的说理过程的四种解法，与同学们谈谈复杂问题中基本图形的构造。

一、从“E”点出发构造平行线基本图形

【解法1】如图2，过点E作EF∥AB，因为AB∥CD，所以CD∥EF，得∠BAE=∠AEF，∠EDC=∠FED，所以∠AED=∠AEF+∠FED=∠BAE+∠EDC。

【解法反思】通过作平行线，利用两直线平行内错角相等，两角分别转化，角的关系清楚呈现。

二、从“E”点出发构造三角形基本图形

【解法2】如图3，过E作EH⊥CD，垂足为H，并反向延长EH，交AB于G，由平行线性质得∠AGH=90°，所以∠BAE+∠AEG=90°，∠EDC+∠DEH=90°，所以（∠BAE+∠EDC）+（∠AEG +∠DEH）=180°。又因為∠AED+（∠AEG +∠DEH）=180°，所以∠AED=∠BAE+∠EDC。（过点E直接作直线与AB、CD相交也可以。）

【解法反思】从“E”出发，把∠BAE，∠EDC放入两个三角形中，利用三角形内角和和平角的定义，结合等式的性质，代换出三角关系。

三、从“AE”出发构造平行线基本图形

【解法3】如图4，延长AE交CD于点F，由∠AED是△DEF的外角，得∠AED=∠EDC +∠AFD，由AB∥CD，∠BAE=∠AFD，所以∠AED =∠BAE+∠EDC。

【解法反思】延长AE，既构造了三角形的外角，又转化了∠BAE，可见构造平行模型十分重要。

四、从“AD”出发构造平行线、三角形基本图形

【解法4】如图5，连接AD，由AB∥CD得∠BAD+∠ADC=180°，即（∠BAE+∠EDC）+（∠1+∠2）=180°。由△ADE内角和为180°，得（∠1+∠2）+∠AED=180°，所以∠AED =∠BAE+∠EDC。

【解法反思】连接AD，既构造了平行模型，又得到三角形。事实说明：解题中，只要有思路，就会有出路。只要大胆尝试，就可能找到解决问题的途径。

（作者单位：江苏省建湖县城南实验初中教育集团）