细“察形”明“析数”

王丽花

线段、射线、直线是平面图形的基础知识，也是同学们常见的研究对象。在小学，同学们常常采用的是直观性识图，由于没有学习过图形的严谨表示方法，缺少几何语言的严谨表述，因此在初中课堂表现及作业练习中常常会出现一些错误，现在帮助大家归纳整理。

一、 概念不清易混淆

例1 给出以下四种说法：①A、B是直线上两点，那么直线可表示成直线AB；②线段AB与线段BA是相同的图形；③延长射线AB就得到一条直线；④射线AB与BA是相同的图形。其中正确说法的个数是（ ）。

A.1 B.2 C.3 D.4

【分析】直线可以记作直线AB，也可以记作直线BA，表示直线的两个大写字母没有顺序；线段AB两个端点没有顺序，可以记作线段AB或线段BA；射线AB的端点是A，延长射线AB，仍是射线AB；射线AB与BA的端点不同，延伸方向不同，所以是不同的图形。故选B。

【点评】本道题目需要辨别概念的本质特征，有无端点，是否能度量，是否能延伸，要加强概念的对比性理解，即理解概念的内涵和外延。

二、方法模糊有错解

例2 解决下列问题：（1）平面内有三点A、B、C，过A、B、C三个点中的任意两点画直线，可以画几条直线？（2）平面内有四点A、B、C、D，过A、B、C、D四个点中的任意两点画直线，最多可以画几条直线？（3）平面内有n个点，过这n个点中的任意两点画直线，最多可以画几条直线？

【分析】（1）首先，平面内三点A、B、C的位置要进行分类讨论，可能在同一直线上，则过这三点有且只有一条直线；也可能三点不在同一直线上，画图分析，此时经过任意两点画直线可以画三条。本题是为第（2）（3）问做铺垫，当平面内任意三点不在同一直线上时，过任意两点最多可以画出几条直线？（2）本小题需要解决的是“最多可以画几条直线”，所以不需要进行分类讨论，当平面内四点中任意三点不在同一直线的时候，最多可以画出共6条直线。（3）需要解决的是“最多可以画几条直线”，所以也不需要进行分类讨论，当平面内n个点中任意三点不在同一直线的时候，最多可以画出的直线共[nn-12]条。

【点评】（1）部分同学在解答本题时容易受思维定势的影响，不会进行分类讨论，尤其会疏漏三点共线的情况。问题（3）是问题（2）的一般化，平面内的点从四个点变成n个点，从特殊到一般，从具体的数字计算到用字母表示，对同学们来说是一种思维的飞跃，我们可以适当选取平面内有四个点、五个点的情况，利用数形结合的方法归纳最多可以画出的直线数量。

三、迁移不当缺灵活

例3 在北廣高铁沿线上共有45个车站，在这45个车站之间有多少种票价？

【讲解】本题中每个车站与其他44个车站之间都要确定一个票价，所以，很多同学容易想到45×44=1980。但由于票价是由里程决定的，往返票价是相同的，所以，所得的结果产生了重复，并且是重复计算两遍。实际上共有票价45×44÷2=990种。

【点评】本题以生活实际中票价问题为背景，这个情境贴近生活，便于理解，易于联想。本题的数学模型是同一直线上的数线段问题，这和同一直线上共有45个点，共有多少条线段本质上是相同的。“票价”与“数线段”这两个问题的背景、条件和要求看起来不同，但可以理解为点和点之间的连线段问题。将两类问题加以辨别、对比，加强解决问题策略的正迁移，可以提升解题的灵活度。

（作者单位：江苏省常州市武进区前黄初级中学）