关于图乘法的一种特殊情况

赵盛琳

摘 要：本文讨论了用图乘法计算结构位移的一种特殊情况，有一个弯矩图是反对称，另一个弯矩图是线性图线的时候，计算中容易出现的错误，从公式推导指出正确的处理方法。

关键词：图乘法; 形心坐标; 计算公式

中图分类号：？U442           文献标识码：A       文章编号：1006-3315（2019）12-141-001

在材料力学或者结构力学一般用能量法来计算结构位移，使用比较多的是单位载荷法，在满足一些特殊条件下（轴线为直线，等截面梁或者刚架而且抗弯刚度为常量，两个弯矩图中至少有一个为线性函数），计算莫尔积分可以用图乘法，在大部分有图乘法介绍的教材里，图乘法公式的推导所用的示意图都是所考虑的区间里有一个弯矩图是全部在轴线一侧的一条曲线，另一个弯矩图是线性图线，推导过程中用到了平面图形的形心坐标计算公式，而且计算结果有正负号的问题，两个弯矩图在轴线同侧的时候，结果取正值，两个弯矩图在轴线异侧的时候，结果取负值。因此图乘法给人的感觉就是计算中弯矩图面积是带正负号的。然而在遇到以下情况的时候很容易犯错。

有的时候我们会遇到有一个弯矩图在考虑的区间内是反对称的，而另一个弯矩图是线性图线，教材里没有硬性规定弯矩图必须在轴线同侧才能用图乘法，只要满足使用图乘法的三个条件（轴线为直线，等截面梁或者刚架而且抗弯刚度为常量，M（x）及[M]（x）中至少有一个为关于x的线性函数），就算M（x）有正有负（即弯矩图分布在轴线两侧），图乘法的公式依然能用。

图乘法计算积分的公式[l]M（x）[M]（x）dx=[ω][M]c，其中[ω]代表M（x）图的面积，[Mc]是[M]（x）图中与M（x）图的形心对应的纵坐标。

当M（x）图反对称，则其图形的形心显然在轴线中点处，但弯矩图面积[ω]因为考虑反对称图形的正负号，加起来为零，所以不管[M]c是多少，最后结果就是零，但这显然是错误的。

由平面圖形形心坐标计算公式Xc=[AxdAA]，可得[AxdA]=A·xc，也就是材料力学平面图形的性质里的静矩，在这公式里，坐标x和xc都是代数量，可正可负可零，而面积A或者面积微元dA都取大小，即取绝对值。因此图乘法计算公式用到平面图形形心坐标计算公式，公式里所写的平面图形面积应采用绝对值来计算，而不是自带正负号。

当然，图乘法最后结果是带正负号的，实际上计算结果的大小可以用整个区间的弯矩图M（x）（非线性的两块反对称的图形总面积）乘上线性弯矩图[M]（x）横坐标中点的纵坐标[M]（[12]），结果的正负号分两段来看比较清楚，由于M（x）反对称，关于轴线两侧的图形形心坐标位置对称，[M]（x）以轴线中点分成两部分，绝对值大的一侧决定最后结果，若[M]（x）此图线与M（x）同侧结果取正值，异侧则结果取负值。

参考文献：

[1]刘鸿文.材料力学II，第6版，高等教育出版社，2017

[2]龙驭球，包世华，袁驷.结构力学I基本教程，第4版，高等教育出版社，2018

[3]王永廉.材料力学，第3版，机械工业出版社，2018

[4]李家宝.建筑力学第三分册结构力学，第三版，高等教育出版社，1999

[5]唐国强，王永廉.理论力学，第2版，机械工业出版社，2016