图形剪裁的优化问题

李东阳

摘 要：快递已经成为了我们生活中的重要的一部分，现代城市中很少有人没有网购的经历，我们都知道网购的东西是需要包装的，这些包装就需要考虑如何节省材料的问题，这就是图形剪裁的优化问题。本文将简要的介绍下图形剪裁中思考的模式，希望同学们能够从分析的过程中得到一定的启发，培养自己深入思考的能力，在学习生活中多想多做，取得进步。

关键词：圆 正方形 图形剪裁

中图分类号：G63 文献标识码：A 文章编号：1003-9082（2019）01-0-01

一个10*10的正方形材料，能够剪出多少个直径为1的圆呢？

一般人都会脱口而出，能够剪出100个圆，如图1，把空间占据的满满的，一个多余的圆也剪不出来了。一眼看过去，确实是这样，一个10*10的正方形分成100个小正方形，每个小正方形中可以剪出一个圆，不正是100个直径为1的圆么。但是，朋友，这空出的面积虽然是不规则的，看起来难以利用的。但是想一想，圆周率是3.14，有0.86/4，也就是超过五分之一的面积被浪费掉了，这可以说是非常惊人的浪费了，工业上有这么高的浪费是不可接受的，一直以来有着数不尽的人为了提高工业原料利用率而努力。我们也应打破常规思维，提升原材料的利用率。

生活中我们应该能够想到这样一个问题，那就是一个圆形的硬币，用同样的硬币绕它一周，周围绝对不止放置4枚硬币，6枚硬币才是正确的结果。那么是否在剪裁的过程中同样这样考虑呢？于是我们有了第二种考虑办法，那就是不再规则的排列能够剪裁出来的圆，而是尽可能的密集的排列它们，我们发现，這种情况下我们有以10个小圆为1排的，也有以9个小圆为一个排的，但是我们多放了一排，一共有6排10个圆的，5排9个圆的，这样我们放置的圆的总数就突破了100，达到了105个，如图2。

如果你观察足够细致的话，就会发现整个正方形的最上方还有一块空出的条形区域，那么能不能利用好这块区域，能够放下更多的圆呢？毫无疑问我们是可以做到的，在上一种方法中，我们有5排9个，6排10个，如果我们变成4排9个，7排10个，那就总数就能够更上一层楼，变为106个[1]，如图3。

现在我们已经解决了最初的问题，在一个10*10的正方形中可以剪裁出多少个直径为1的圆，那么我们现在知道了是106个，我们有办法证明这一点么？我们是否可以找到一种方案比较方便的计算出答案，而不是靠猜测——验证这种比较原始的思路去解决问题呢？接下来我们继续探索。

我们知道圆应该交错的排列，这样可以尽可能地降低每排圆的高度，这也是我们能够从100个直接把成绩提升到105个的主要原因，通过采用更紧密的排列方式，实际上降低了平均每排圆的高度，两排圆之间重复利用了某些空间。除了两端之外的圆，中间每排圆的实际占用的高度应该是，最上方和最下方排除一条，（10-1）÷0.866+1=11层，这样，最终有6层10个的，5层9个的，共计105个圆。此时，整体的高度是0.866*10+1=9.66，可以看到还有一定的空间。于是我们考虑增加一排10个的，这样依然不会超出边界，可以计算出整体的高度是3+8*0.866=9.928，依然是小于10的，所以106个的方案依旧可行[2]。此时，我们判断应该再增加一个应该是不可能的了，但是还是应该计算一下。5+0.866*6=10.196，此时我们发现在8层10个，3层9个的情况下，整体的高度已经超过了10，那么就不能够完全在10*10的正方形内部了。因此最多就是106个圆。

这样的数学证明还是不够严谨，仅仅能够在简单的情况下证明，还有许多更加合理、更加简明的方法等待着我们去探索。图形剪裁是一门比较有趣的学问，值得深入的思考，更有其深刻的现实意义。生活中我们已经习惯了网购，习惯了快递，但是毫无疑问，我们的生活中产生了越来越多的包装垃圾。但是这些包装确实是不能够节省的，那么就只能想尽办法去节约材料，节省成本，同时也能够减少垃圾的产生，由此联想到了原来的过度包装问题。现在的过度包装问题最早可以追溯到20世纪90年代末期，那时产生了奢华的月饼包装，使得价格倍增，少则几十多则上千，区区一盒月饼不足几块却有着高昂的价格。这些过度包装不禁使人想到了买椟还珠的故事，郑人买其椟而还其珠，“此可谓善卖椟矣，未可谓善卖珠也”[3]。

当然我们现在的包装问题与当时的过度包装问题不尽相同，但是核心都是为了简化包装，降低包装的成本。在当今社会这样发达的网购的背景下，减少包装材料，在能够保证对商品的保护的同时尽可能的降低成本，应该是一件不停歇的有意义的工作。

本文挑选了一个较为简单的问题作为切入点，但是希望探讨的是隐藏在问题背后的思维方式的问题。从100个提升到105个，是因为有改变思维定式的意识，10*10，直径为1这样明显甚至有些诱导的条件，挡住了大部分人思考答案的能力，不假思索的提出了看似正确的答案。而从105提升到106个，则是对设计精益求精的结果，在追求正确的道路上需要重视每一个小的关键点。接下来的数学上的思考则是对我们得到的结果的一个支持，能够从数学上证明一个方面做到了完美，才能够暂时停止探索的脚步。

参考文献

[1]酱紫君.关于“一个10*10的正方形里，最多可以放多少个直径为1的圆？”的回答[DB/OL]https：//www.zhihu.com/question/67716815，2018-8-3/2018-8.

[2]Grinner.关于“一个10*10的正方形里，最多可以放多少个直径为1的圆？”的回答[DB/OL]https：//www.zhihu.com/question/67716815，2018-8-3/2018-8-3.

[3]李晓丹.论节约型包装设计[J].美苑，2013（04）：94-96.