浅谈归纳法在数学中的应用

张柯依

中图分类号：G63 文献标识码：A 文章编号：1003-9082（2019）01-0-01

归纳法简介

归纳法是数学和应用数学中使用较多的一种数学论证方法，常用于与正整数有关命题的证明。从思维学上来说，归纳法是从特殊到一般的思维方法，主要通过从无数个别现象中归结处共同的属性，并得出一个普遍适用的结论。其最大的特征在于需要依靠大量的事例，并依据事例的充足程度分为完全归纳法和不完全归纳法。实践证明，如果能够合理的运用归纳法，有助于我们更好的探索数学规律，更好地理解和记忆数学现象。下面本文就简单介绍一下何谓数学归纳法，并进一步说明数学归纳法在数学和应用数学领域的应用，以及该如何正确利用归纳法，为后期研究提供研究思路和实验数据。

一、归纳法

从历史上来看，归纳法的分支，即完全归纳法是由‘英国唯物主义和整个现代实验科学的真正始祖弗兰西斯·培根（Francis Bacon，1561—1626）提出的。弗兰西斯·培根提出归纳法的原因在于，他尝试着从无数现象中，寻求一真实不变的本质，是以在这一基础上提出了共同属性寻找方法—科学归纳法，并进一步将其归纳为‘归纳三部曲即收集材料（将自己认为有关的某些种类收集在一起）；运用求同、求异、求真三步骤来整理材料；形成共性的特征，并不断在事物中验证。后来，在弗兰西斯·培根归纳法的基础上，人们又进一步进行创新，提出了不完全归纳法，并积极将其用于生产生活等诸多领域，数学和应用数学领域也引进了这一归纳方法。

二、归纳法在数学和应用数学领域的运用

在归纳法提出后，意大利数学家马奥罗修勒斯，他在1575年的著作《算术》中首次将归纳法引入，并用其证明了正奇数相加的整体规律。后来，越来越多的数学家开始关注和运用这一方法，并进一步体悟到归纳法对数学规律探索的意义。我国著名数学家华罗庚是就曾这样说：“把数学归纳法学好了，对进一步学好高等数学有帮助，甚至对认识数学的性质，也会有所裨益[1]。”

正是由于其运用意义很大，是以广泛运用于各个领域，主要包括不等式、等式分解，也常用来证明等式成立和数列通项公式成立等。一般来说，使用数学归纳法论证，需要经过以下几个步骤。一是证明在某一条件下，某甲命题成立，这是递推的基础；二是假设在同一条件下，某甲+1命题成立，同时进一步证明当甲+2一直到甲+N命题也成立，通过无限递推，得出我们应有的结论。之所以，我们能够做出这一推论，在于意大利数学家皮亚诺提出的皮亚诺自然数归纳公理，“任意一个自然数集合，1属于；假定包含，也一定包含后继数，则包含所有自然数[2]。”

这只是其中一个例子，我们知道很多数学家在探索过程中，提出了很多规律，但是为了保证准确性，其所有的应用都有一定的基础，所以也就注定了其只能在有限的范围内运用，而不能无限的推广。但是我们清楚，数学探究的乐趣就在于寻找规律，而且希望能够通过一定的手段和证明，将寻找到的可能规律升级为普遍适用的公理。那么，如何将范围内成立的规律转化为可以普遍使用的公理，将成为我们亟需解决的问题。数学归纳法就提供了解决这类问题的一种方法，而且这种方法并不是感性的认知，而是逻辑合理，递推过程严格的证明方法，可以通过“有限来解决无限”的方式，来证明论断的正确性。

三、应用数学归纳法应注意的事项

归纳法是一项很实用的证明方法，为了保证能切实发挥其应有的证明效能，我们在应用时，要注意以下两点。一是按照标准的方法来使用。简单来说，使用数学归纳法，一定要完成两步证明、一个结论。首先要在一定条件下，证明甲理论成立，从而为后续递推打牢地基，提供坚实的基础。然后在条件不变的情况下，再次证明甲+1这个结论也成立，并通过递推的方式，证明甲+n也成立。最终依托共有的基础，得出某一结论。这一结论就是甲所代表规律，在具备一定条件时，能够普遍运用。目前在运用中的误区在于，很多人会积极使用第一步，但对第二步未能有效进行，从而将数学归纳法，变为不完全归纳法，丧失了其推广和便有限为无限的可能性。

二是在应用数学归纳法证明的时候，重点在于第二步的推广。在进行推广时，一定要注意将假设命题成立这一个条件应用进去，并再此基础上，把这一条件当作已知来充分利用，通过有逻辑的證明甲+N命题同样也成立。在这期间一定要注意逻辑的准确性，证明方式的合理性，否则就会成为妄自推断，失去了归纳法应用的本意。

四、结论与展望

通过上述内容，我们可以知道数学归纳法是一种用于证明与自然数有关的命题的正确性的方法，广泛运用于等式、整除、不等式、数列等问题，可以有助于我们理解和掌握数学知识，也有利于数学家完成专业探索。实践证明正确运用数学归纳法，不仅可以助力我们学到数学知识，同时也能提升我们的思维，让我们逐渐学会从纷纭万物中寻求某一共性规律[3]，发现生活或者自然的本质，更好运用其解决问题。从大的层面上来说，中国的医学、中国的哲学思想、以及物理学中的‘牛顿的万有引力都是这一思维运用的直接结果。希望所有人都能够积极学习并掌握这一方法，以更好的理解数学，学习数学、体悟生活、点亮人生。

参考文献

[1]朱华伟，钱展望.数学解题策略.[M]，科学出版社，2009.08

[2]王飞.高中学生数学归纳法前瞻性的研究.[D]，硕士论文，2016.08

[3]李佳.数学归纳法应用思路探析.[J].数理化学习（教育理论版），2016.12