一维Aubry-André模型中的局域化

王凤梅,徐志浩

(山西大学 理论物理研究所,山西 太原 030006)

0 引言

1 理论模型

我们考虑具有最近邻相互作用的单组分费米子被捕陷在双色光晶格中,双色光晶格可以通过两个波数分别为k和αk的非公度晶格叠加而得到,系统由如下哈密顿量来描述

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2 结果与分析

2.1 AA模型中的反常局域化

我们计算了系统的Shannon熵,它是另外一个重要的物理量用来刻画无序系统中单模态的局域特性。Shannon熵的定义为[17-18]:

(2)

Shannon熵用来表征实际的波函数偏离均匀分布的程度。当系统尺寸增加到无穷时,对于扩展态S(En)∝lnL,而对于局域态S(En)为常数,因此Shannon熵是有界的0≤S(En)≤lnL。图1下半部分刻画了不同能量En所对应的Shannon熵S(En),和逆参与率的结果相类似,系统中分出三个区间,在扩展区S(En)≈lnL=8.699 5,局域区Shannon熵变为有限大的值,而在临界区间的值和扩展区与局域区有明显的区别。

Insets show probability distributions of different regions:(a)critical region;(b)extend region;(c)localized region;(d)edge state. 000,λ=1.5,φ=0 as a function of energy En插图展示不同区域的概率分布(a)临界区域;(b)扩展区域;(c)局域区域;(d)边缘态。这里,图随着能量本征值En的变化

在V=0时,我们首先考虑α≪1,λ<2的情况下,非公度化参数α,调制强度λ对类迁移率边的影响。图2(a)展示了对于不同λ,类迁移率边|E1c±|+λ,|E2c±|的位置随着α变化的情况。图中特殊点为数值计算结果,线表示为线性拟合的结果。对于|E1c±|+λ为斜率为0的一条直线,且截距为2t。由此可见,E1c±=±|2t-λ|,并不依赖于非公度化参数α的取值。而对于|E2c±|,其拟合曲线形如:|E2c±|=μπα+γ。表1中展示了对于不同调制强度λ,拟合参数μ和γ的值。从表中我们可以看出随着λ的增加拟合直线的斜率在逐渐增大,并且截距γ=2t-λ,即在α趋于0的极限,系统的两对类迁移率边重合,重合位置在±|2t-λ|。图2(b)展示了α不同时类迁移率边|E2c±|随着调制强度λ变化的情况。类迁移率边|E2c±|随着α的减小越来越接近于线性变化,并且在α→0的极限下,与|E1c±|近似重合,然而随着α的增加|E2c±|和λ的关系曲线变得复杂,不再呈线性关系。值得注意的是,我们观察到,以α=1/(70π)为例,当λ=2时,|E1c±|=0,而|E2c±|并没有完全消失,即在λ=2时,与通常的AA模型不同,在此参数点下,系统在E2c-

Fig.2 (a)|E1c±|+λ,|E2c±| as a function of απ with different quasi-periodic modulation amplitudes λ,dots represent calculation results and lines are the corresponding fitting results;(b)|E2c±| as a function of λ with different incommensurate parameters α.Solid line is for 2t-λ. Here, φ=0,L=6 000图2 (a) |E1c±|+λ,|E2c±|在准周期调制强度λ不同时对应απ的变化,点对应的是计算值,线对应的拟合结果;(b) |E2c±|在非公度参数α不同时对应λ的变化。实线表示2t-λ。这里L=6 000,φ=0

|E2c±|=μπα+γ λ0.51.01.5 L=6 000 μ17.982 624.615 230.902 3γ1.493 60.998 20.493 5

Here,L=9 000,α=1/(70π),λ=3,φ=0Fig.3 (a)IPR as a function of En;(b)entropyS (En) as a function of En.这里L=9 000,α=1/(70π),λ=3,φ=0图 对应能量En的变化;(b)S(En)对应能量En的变化

2.2 AA模型的多体局域化

〈γ〉=0.386,〈γ〉=0.529 5 are respectively for the distribution of Poisson andFig.4 Average ratio of adjacent energy gaps 〈γ〉 as a function of λ with different 〈γ〉=0.386和〈γ〉=0.529 5分别对应泊松分布和Wigner-Dyson分布;图4 平均相邻能隙间的比率〈γ〉在L不同时随调制强度λ的变化

为了进一步观察每一个多体态的局域化性质,我们计算多体态的正常参与率:

(3)

Color bar is the value of Here,V=1,L=14,N=7Fig.5 Average normal participation ratio as a function of quasi-periodic modulation amplitudes λ颜色棒对应的平均值这里,V=1,L=14,N=7图5 平均正常参与率随着调制强度λ的变化

Fig.6 Distribution of quasi-periodic potential cos(2παj) for different sitej.Solid line for and dash line for α=1/(70π).图6 准周期势cos(2παj)对应不同格点j的分布;实线对应虚线对应α=1/(70π)

3 结论