浅谈概念课的问题驱动

摘 要：课堂教学是数学教育落实的主要方式，本文借助平面向量的教学过程展示了数学概念课中遵循概念的生成逻辑，设计问题链的教学模式。

关键词：平面向量；课堂教学；问题链；概念生成

中学数学课大体可以分為数学概念课、规则原理课、解题方法课、试题分析课等。其中，概念课的教学模式一直是老师们探讨的热点。因为每一知识模块的第一节课大多是数学概念课。“好的开始是成功的一半”。以下借助《平面向量的实际背景及基本概念》一课，介绍一下本人对数学概念课的理解和处理方式。

一、 课堂实录

（一） 情景设置：

师：如果同学们遇到下面这种情况该怎么做？

展示情景：在汽车站内遇一老人问路，“中心医院怎么走？”你该如何作答？

生：汽车站路口向东3.5公里；或汽车站路口向东第四个路口。

师：如果只说“向东”或者“3.5公里”，行不行？也就是说你的描述应该包括几个方面？（生：不行；距离和方向。）

师：对，距离是车站路口到医院的路程的大小。也就是说，我们的描述需要“既有大小，又有方向”。（板书）

师：在原来的学习中我们有没有接触过这种既有大小又有方向的量呢？有哪些？

生：位移、力、速度、加速度等。

总结：我们现在学过的量可以分为两种：一种有大小也有方向，称为向量（物理学中称为矢量）；一种有大小没有方向，称为数量（也就是物理学中的标量）（板书）

（二） 引入课题

师：这一章主要学习向量的定义、表示方法、运算及简单应用。所以本章题目是《平面向量》。

（三） 探究新课

师：我们在接触一个新事物时，首先希望了解它的“名字”，也就是一种符号表示方法。比如开始我们遇到的问题，设汽车站为点A，县医院为点B，如何用一个符号表示从汽车站到县医院这段向量？（生：AB）

师：这种表示容易与线段、直线的表示混淆。我们可以把以A为起点、B为终点的向量记作AB。如果对起点和终点不够了解也可以用一个小写字母来表示，如：a、b、c。这是向量的字母表示方法。

师：字母表示法是一种符号语言，是抽象的表示方法。数学语言中有符号语言、图形语言两类。任一实数在数轴上都有对应点，三角函数用什么图形表示呢？

生：三角函数线。

师：三角函数线是有方向的线段，这种有向线段能表示向量吗？

生：有向——方向；线段——大小。

师：有向线段的三要素是什么？

生：起点、方向、终点。

师：有向线段的长度表示一个向量的大小。向量的大小被称为向量的模，记作AB。

思考1：向量的模都是正数吗？

师：手中平托的课本，受到重力和我的托力的影响，合力的大小是多少？

生：这是一个大小为零的向量。

师：我们可以怎么定义这种向量？（零向量）记作0。作为一个向量我们还要考虑它的方向。通常认为，0的方向是任意的。

师：然而向量的模的取值范围是什么？（生：AB0.）

展示边长是1菱形ABCD。思考2：图中四向量有什么共同之处？（生：模是1.）

师：我们通常把长度等于1个单位的向量叫做单位向量。

问：若AB、AD是两个单位向量，那么是不是AB=AD？（生：是。）

师：为什么？向量的模相等，两向量就相等吗？还需不需要考虑其他要素？怎样的两个向量可称为相等向量呢？能写出菱形ABCD中AB的相等向量吗？

生：大小相等，方向相同。AB的相等向量是DC

师：AB相等向量是DC，能不能认为有向线段AB和DC也是相等的？（生：是）

师：这两个有向线段的三要素都相等么？（生：不相等。）

师：总结有向线段和向量的联系和区别是？

1. 有向线段既有大小又有方向，是向量的几何表示；

2. 向量与有向线段的区别：（1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段。

师：既然AB、AD不相等，那么能不能比较AB、AD的大小？

师：数量可以比较大小。但是向量由于需要考虑方向，不能比较大小。

师：AD和CB是相等的两向量么？

生：不是。AD和CB的方向不同，是相反的。

师：菱形的对边是平行的。那么AB与DC，AD和CB我们也可以称为平行向量。记作：AB∥DC，AD∥CB。

思考3：什么样的两个向量可称为平行向量？（生：同向或反向的两个向量。）

师：所有的向量方向都是确定的吗？有没有方向无法确定的向量？（生：零向量。）

师：平行向量：同向或反向的两个非零向量。

（板书）我们规定：零向量和任意向量平行。记作a∥0

师：我们知道向量的要素只有大小和方向，与起点无关，也就是可以认为向量是可以平移的。那么平行的向量我们能不能都平移到一条直线上？（生：可以）

师：所以平行向量也称为共线向量。

师：现在我们一起回顾以下我们从几个方面来研究平面向量的？

二、 归纳反思

著名数学家P.R.Halmos曾说，“问题是数学的心脏。”朱德全博士也曾指出，“问题是教师教学的心脏，是学生学习的心脏。”这一节课，首先从实际生活中的情境引入，以学生原有的知识背景为基础，建立了平面向量的概念；进而，不断激发学生的认知需求，步步深入地介绍平面向量的表示方法、特殊类型和相互关系。在本节课的教学过程中，我努力把握数学的本质、追寻概念生成的内在逻辑，设计出驱动学生不断思考的问题链，使课堂教学流畅、自然；让学生充分体验概念生成中的数学思想和数学方法，帮助学生形成数学活动经验，达到教学目标。

参考文献：

[1]HALMOS P R.The heart of mathermatics[J].The American Monthly，1980（87）：519-524.

[2]朱德全.基于问题解决的处方教学设计[J].高等教育研究，2006，27（5）：83-88.

作者简介：

魏巍，山东省滨州市，惠民县第一中学。