单一生产商单一零售商供应链中最优生产与运输协调策略研究

李清瀑， 刘 雅

(1.西安交通大学 管理学院，陕西 西安 710049; 2.华为技术有限公司，广东 深圳 518000)

0 引言

供应链中生产商和零售商的合作可使得两者成本降低，提高企业利润并使消费者得到更高的满意度[1]。生产运输协调决策模型就是实现这一目标的重要手段，但是常规的生产运输协调模型往往不适于解决诸如海鲜、蔬菜、牛奶等物品的生产与运输问题。Wee[2]将上述物品归为易腐品并给出易腐品定义，即指容易腐败、退化、变质、挥发的商品。易腐品广泛地存在于日常生活中，且数量或质量受到运输与生产决策的极大影响[3]，此外易腐品的生产和运输涉及供应链各方利益，需要供应链各方协调制定生产和运输计划，以降低成本，提高顾客满意度[4]。因此在易腐品供应链系统中进行生产运输协调决策就显得极其重要，具有重要的现实意义。

Yang和Wee首先提出了单一生产商单一零售商的易腐品生产运输协同决策模型，并提出了寻找最优生产批量和运输批量的算法[5]。通过算例分析，表明协同决策对于降低易腐品二级供应链系统成本是有显著作用的。Yang和Wee扩展了Yang和Wee的模型[6]，将零售商数量推广到多个，并引入原材料供应商；并假设在生产周期开始时，生产商按照相等运输策略给所有零售商进行补货；Law和Wee在Yang和Wee模型基础上研究了允许延期支付的生产与运输协同决策模型[7]；Maw和Tsai在Yang和Wee模型的生产商部分引入学习曲线，将生产率变成一个关于时间的函数，使模型更符合实际情况[8]。

上述文献在构建模型的过程并没有考虑安全库存的问题，这可能会引起零售商缺货问题(在本文，安全库存是指生产周期开始时供应链系统的持有库存)。因为当生产周期开始时，生产商和零售商的库存均为0，而生产商采用的运输策略为相等运输策略(每隔一段时间，给零售商运输相同批量的产品)，所以生产出需配送数量的产品之前，零售商是处于缺货状态。Banerjee和Yan[9]首次将安全库存引入易腐品生产与运输协调决策模型，从而解决了零售商在生产周期开始阶段的缺货问题，但是该模型并没有将安全库存作为决策变量而是设为了一个常量，这显然是不符合实际的，因为在实际生产过程中，生产商可以决定自己的安全库存。Suughei和Williams在Banerjee和Yan模型基础上考虑了一个生产商和多个零售商的情况，因为假定零售商的订货请求是依次进行，所以问题可以转化为一个生产商一个零售商的易腐品生产与运输协同决策[10]。

此外，Liang, Xiao, Wee, Taleizadeh等人使用了Stackelberg博弈模型研究了VMI模式下易腐品生产与运输协同决策问题。在VMI模式下，零售商先根据市场信息决定自己的订货周期和零售价格；生产商根据零售商求出的信息求出自己的生产率以及原材料的补货周期；然后零售商再根据生产商的信息求出自己的价格，最终两者可以达到一个均衡[11～14]。

在上述文献中，易腐品生产与运输协同决策模型中的运输策略均为相等运输策略，但是在相等运输策略下有可能出现缺货的情况，本文通过引入安全库存并将其作为决策变量避免了这种情况的产生。其次，文献中普遍使用的相等运输策略对于供应链系统来说并不一定是最优运输策略，本文在没有对运输批量策略作任何假定的情况下通过分析最优运输批量序列的性质得到了最优运输策略的形式并在此基础上提出了一种新的运输策略，先增后等策略。先增后等策略即在一个生产周期内，生产商分批次向零售商发货，发货批量遵循先增加后相等的规律。最后，之前的有些文献没有明确地区分生产商库存和系统库存的区别(如Maw和Tsai直接使用生产商库存代替系统库存)。系统库存等于生产商库存加零售商库存，其变动曲线是光滑连续的；而生产商库存变动曲线是连续非光滑的，因为每当生产商给零售商补货时，生产商库存会瞬间下降。本文将在下文详细阐述二级供应链系统中零售商库存、生产商库存和系统库存之间的关系。

1 问题描述与符号

1.1 问题描述

本文考虑的易腐品供应链系统由一个生产商和一个零售商构成。首先将系统库存定义为生产商库存和零售商的库存总和，然后假定当生产商库存降为0且零售商库存降至安全库存(安全库存为保证系统不缺货而持有的最低库存，本文用x表示)时，生产周期开始，重新到达该状态时，生产周期结束。在生产周期内，生产商以固定的速率进行生产直到库存达到最高水平，这段时期称为生产阶段；随后生产商停止生产直到该生产周期结束，这段时期称为非生产阶段。系统库存的具体变动过程如图1所示：生产周期开始时，系统库存的数量为x，此时生产商库存为零，零售商库存为x；生产商开始生产，因为生产率大于市场需求率，所以系统库存一开始是增加的直到生产阶段结束；在非生产阶段，由于只消耗不生产，所以系统库存是减少的直到生产周期结束。在生产周期内，假定零售商的需求率是固定的且运输时间为0，生产商按批次给零售商补货；每当零售商库存降为0生产商立即向零售商补货从而避免了零售商缺货。本文讨论了两种运输策略：一种是相等策略(EP)，一种是先增后等运输策略(IEP)。图2描述了在相等运输策略下生产商和零售商的库存变化；图3则描述了在最优运输策略下生产商和零售商的库存变化。通过图2、图3可以看出，在需求稳定的前提下，一定数量的安全库存可以完全避免零售商的缺货情况；虽然一定数量的安全库存增加了系统的库存成本和折损成本，但避免了缺货损失，所以本文将安全库存引入到模型中。本文的目的是找到最优的安全库存、生产时间，运输次数 以及每次的运输批量，使得总费用最小。

图2 相等策略下生产商零售商库存变动过程

图3 先增后等策略下生产商零售商库存变动过程

1.2 基本假设条件

(1)生产商的生产率和市场需求率恒定，生产率大于需求率；

(2)不允许缺货，且不考虑订货提前期，运输时间为0；

(3)产品进入仓库后开始变质，生产商和销售商的变质率相同，都为常数；

(4)变质产品不能被替换和修复；

(5)只考虑一个生产周期。

1.3 符号表示

p:生产商的生产率，为固定常数；d:零售商的需求率，为固定常数；x:安全库存水平；n:一个生产周期内的发货次数；θ: 固定折损率，为固定常数；D:一个生产周期内的折损总量；T1:生产阶段的长度；T2:非生产阶段的长度；T:生产周期；ti:第i次补货和第(i+1)次补货时间间隔长度；tx:第一次补货点；I1(t):在t时刻的系统库存水平,0≤t≤T1；I2(t): 在t时刻的系统库存水平0≤t≤T2；Ib(t):在t时刻的零售商库存水平0≤t≤ti；Iv(t):在t时刻的生产商库存水平；Cs:生产商的启动成本；Co:零售商单次运输成本；Hv:生产商单位时间单位数量的库存持有成本；Hb:零售商单位时间单位数量的库存持有成本；Cdv:生产商的单位折损成本；Cdb:零售商的单位折损成本；TCv: 生产商的单位时间总成本；TCb:零售商的单位时间总成本；JTC:系统单位时间总成本。

2 模型构建

本部分主要有六小节，2.1主要分析了生产周期T和安全库存x的关系；2.2，2.3，2.4分别分析了零售商成本，生产商成本以及系统总成本，并在2.5节建立了一个初始模型；2.6证明了最佳运输批量应该满足的性质。

2.1 系统库存

系统库存变化如图1所示，在时刻t的库存水平可以由下面的方程表示：

(1)

(2)

I1(0)=I2(T2)=x

(3)

I1(T1)=I2(0)

(4)

对上式联立求解得：

(5)

(6)

(7)

在生产周期T确定的情况下，因为运输过程中假定没有折损，系统库存的总折损量就等于生产量减去需求量，故:

D=pT1-dT

(8)

2.2 零售商总成本

零售商的总成本由运输成本、库存持有成本和折损成本构成。由于在一个生产周期内，零售商的订购次数为n, 故零售商的运输成本为nCo。对于零售商来说，在任意ti内满足：

(9)

Ib(ti)=0,1≤i≤n

(10)

联立求解得：

(11)

对于第i次补货，零售商库存在t=0时取得最大值。由于第i次补货与第i+1次补货的时间间隔为ti,在这段时间内，零售商正常消耗的库存为d×ti;于是在第i次补货与第i+1次补货之间零售商的折损量可以表示成下面的形式：

(12)

零售商的折损损失为：

故零售商的库存持有成本为：

故零售商的单位时间总成本为：

(13)

2.3 生产商总成本

生产商的总成本由启动成本、库存持有成本和折损成本构成。对于生产商来说，单位时间库存水平等于单位时间总库存水平减去单位时间零售商库存水平；单位时间折损数量等于单位时间总折损数量减去单位时间零售商折损数量。故生产商的库存持有成本为：

生产商的折损损失为：

故生产商的单位时间总成本为：

(14)

2.4 系统总成本

系统总成本等于零售商总成本加生产商总成本。

(15)

2.5 初始模型

本文研究的问题可以用如下模型表示：

minJTC

(16)

(17)

(18)

该模型的决策变量有安全库存x，一个生产周期内的发货次数n以及第i次补货和第(i+1)次补货时间间隔长度ti。该模型的目标函数即系统单位时间总成本最低。约束条件(16)表明了ti和T的关系；约束条件(17)、(18)表明了每当零售商库存降为0时，生产商总有足够的库存以满足零售商下一批次的需求。

2.6 最佳运输批量序列的性质

在本小节，将给出几个最佳运输序列性质及其证明。由于在本模型中运输批量和订货批次的时间间隔长度是一一对应的，所以在对性质的说明和证明中都是使用的订货批次的时间间隔长度。

图4 在L和 L′中零售商补货点及库存变化

在L中，零售商第i次和第j次补货时间点表示如下：

在L′中，零售商第i次和第j次补货时间点表示如下：

同理可以得到在序列L′下零售商在Ti，Tj处的补货量：

要证明L′满足约束条件，只需要证明：

Iv(Ti)>q(Ti),Iv(Tj)>q(Tj)

(1)Tj>T1

本文令y等于Ti处的总库存，令z等于在区间[Ti,Tj]折损总量。然后可以得到下面两个式子：

Iv(Tj)=y+p(T1-Ti)-d(Tj-T2)-z

(2)Tj≤T1

证明过程和情形(1)类似，不再详述。

故性质1得证。

性质2给定x,T1,n条件下，零售商最佳运输批量序列一定满足下面的方程：

(19)

证明方程(19)表明在第一次补货点上，生产商会将所有库存发送给零售商。假设最佳运输批量序列不满足方程(19),那么一定满足下面的不等式：

本文将分两种情形进行讨论：

(1)所有的ti(i∈{1,2,…,n})都相等

本文可以找到x*

所以在非生产阶段，调整后的序列是满足约束条件的。显然可以通过降低T1使上式恰好满足，此时总成本降低了，并且满足约束条件；进而表明在ti全相等的情形下，最佳运输批量序列一定满足方程(20)。

(2) 所有的ti(i∈{1,2,…,n})不全相等

根据性质1一定存在一个ti使得下式成立：

ti-t1=Δt,(Δt>0)

那么调整后的序列一定满足约束条件，且调整后的目标函数值与原序列的差可以表示成下式：

eθt1+eθti-eθ(t1+m)-eθ(t1-m)=(eθ(ti-m)-eθt1)(eθm)-1)>0

调整后的序列要优于调整前的序列，故原先的序列并不是最佳的，命题得证。

性质3给定T1和n，最佳运输批量运输序列一定满足下式：

t1

证明根据性质2，可以用方程(19)替换掉约束条件(17)。在给定n和T1的情况下，将约束条件(18～19)代入目标函数，利用拉格朗日条件极值法求解，并将解代入剩余约束条件，验证是否是可行解。具体过程如下：

(20)

对(20)求关于ti的一阶偏导数：

(21)

(22)

由(22)易知，在不考虑后n-1个约束条件的情况下，最优解一定满足：

t2=t3=…=tn-1=tn

然后检查上式求出的t2是否满足约束条件。如果满足，那么t3,…,tn一定满足约束条件，性质3得证；如果不满足，则令j=2并且在第j次补货点上生产商将所有库存发送给零售商，即：

p(1-e-θtj-1)=d×(e-θtj-1)

(23)

然后将方程(23)引入模型，重新利用拉格朗日条件极值法进行求解，然后检验是否满足约束条件。如果不满足约束条件，将j加1，重复上述步骤直到找到满足约束条件的j。

通过上述步骤，可以得到最佳运输批量序列一定满足下列形式：t1

3 求解过程

根据性质2，本文用方程(19)代替约束条件(18)。根据性质3，最佳运输批量序列是先增后等的。于是本文提出一个全新的运输策略，定义为先增后等策略(Increasing size followed by equal-size policy, IEP),具体形式如下：t1

(1)相等策略

minJTC

(24)

(26)

(2)先增后等策略

minJTC

3.1 求解算法

因为相等策略是先增后等策略的一种情况，所以这里只介绍在先增后等运输策略下的求解算法:

Step1令j等于1;

Step2令n等于1；

Step3求解(24)，得到x和JTC最小值，分别记为xj(n)，JTCj(n)；

Step4令n加1；

Step5重复步骤3和步骤4，直到条件JTCj(n)

Step6令j等于1,重复步骤2～5直到JTCj(nj)

Step7利用方程(28～30)求出其他决策变量的值。

4 算例分析

之前关于易腐品生产库存集成的模型的文献使用的都是同样的数据，本文也使用之前的数据。

生产率p为2000000单位/年，需求率d为500000单位/年，折损率θ为0.1/年，零售商的订购成本Co为$2000，生产商的启动成本Cs为$100000，生产商的库存持有成本Hv为$60/单位*年，零售商的库存持有成本Hb为$40/单位*年，生产商的折损损失Cdv为$400/单位，零售商的折损损失Cdb为$600/单位。

利用上节的算法对两种策略分别求解，结果如表1，表2所示：

表1 先增后等策略(j=3)

表2 相等策略

在相等策略和最优运输策略下，单位时间系统总成本随运输批次n的变动过程如图5所示：

图5 JTC随n变化图

通过表1、表2以及图5，可以得到如下结论：

(1)采取协调决策情况下的发货批次n要小于单独考虑零售商成本的情况，大于单独考虑生产商成本的情况；这是因为在零售商运输固定成本较小的情况下，增加发货批次可以有效降低零售商的库存成本，进而降低零售商的总成本；又由于系统库存不变，零售商库存水平高，生产商库存自然就比较低，所以单独考虑生产商成本，发货批次n往往比较小。而协调决策综合考虑了生产商和零售商的成本，所以发货批次n介于两者之间。

(2)采取协调决策有效地降低了系统总成本。从表1可以看出，在采用先增后等策略的情况下，协调决策的目标函数最小值为2778866要远远低于生产商单独决策的最优值3032543，也要低于零售商单独决策的最优值当2819690。从表2可以看出，在采取相等策略的情况下，协调决策的目标函数最小值为2851534，要远远低于生产商单独决策的最优值3783502，也要低于零售商单独决策的最优值2858585。虽说采取协调决策降低了系统总成本，但是对于生产商或零售商来说却不是最优解。为了能够让双方都接受协调决策，与之对应的机制设计和激励机制是必不可少的，这也是本文未来关注的重点。

(3)在先增后等策略中，当n=7，x=120.73时，目标函数取得最小值，最小值为：2778866，要优于相等策略的最小值2851534，节省成本占总成本的2.5%，表明先增后等运输策略确实优于相等策略。先增后等策略情况下，可以有效降低安全库存，从而降低了系统的平均库存水平，从而成本要低于采取相等策略的情况。

4 敏感度分析

在敏感度分析中，本文通过增加或减少以下几组参数的值，进而观察目标函数值的变化情况。分析的参数如下：(Cdv,Cdb)、(Hb,Hv)、(Cs,Co)、θ、p、d。结果详见表3和图6。

表3 敏感度分析

通过表3、图6可以得到如下几个结论：

(1)目标函数值对启动成本，运输固定成本(Cs,Co)和零售商需求率d变动高度敏感，对于(Cdv,Cdb)、(Hb,Hv)、θ敏感，对于生产率p基本不敏感；

(2) 所有参数对目标函数值的影响都是正向的，即参数值增加会导致目标函数值的增加；

(3)(Cdv,Cdb)、(Hb,Hv)对目标函数值的影响是相同的，这应该是因为在敏感度分析中，(Cdv,Cdb)=(Hb,Hv)/θ；在θ变动的情况，影响应该不是相同的。

5 结论

本文以单一生产商单一零售商构成的二级易腐品供应链系统为研究对象，研究了易腐品生产与运输协调决策模型。开展本文的研究有助于帮助生鲜食品、易挥发产品等易腐品供应链上的企业从供应链的角度出发协调管理各方库存，降低整个供应链系统的成本，提高整个供应链的效率。

本文在前人研究的基础上通过引入安全库存并将其作为决策变量，建立了一个更为完善的易腐品生产运输协调决策模型；并在没有对运输策略作任何假定的情况下通过分析最佳运输批量序列的性质，即最佳运输批量序列需要满足单调不减、生产商第一次发货需将库存全部发出这两个性质，进而在此基础上，提出了一种先增后等的运输策略，最终求出了在该运输策略下的最佳的生产批量和运输批量以及系统库存总成本，并将其与之前文献普遍采取的相等运输策略进行了比较，通过算例，证实了本文提出的策略要优于相等策略；同时也证实了不管先增后等运输策略还是相等运输策略，协调决策都有效地降低了系统总成本。

但是本文求出的解释在特定运输策略下的最优解而不是原模型的最优解；从性质3本文可以得到最佳运输序列的形式，如何从性质3推导出最佳运输批量序列是本文未来研究的重点。此外，采取生产运输协调决策虽然可以有效降低系统的总成本，但是对于生产商和零售商自身来说都不是最佳决策，如何让两者放弃自己的最佳决策而采用协调决策进而达到系统最优也是本文未来的研究重点。