驻波法测声速实验原理的讨论

夏炎

摘   要：对驻波法测量声速的实验原理，说明了常见教材解释的错误之处，并用图像较清晰、叙述较简明的方式重新梳理了实验原理。核心是存在次级反射;并且在接收探头附近每级入射波与反射波成对形成驻波，各级驻波叠加又形成一个总驻波，反射面始终处于该驻波的波节。波节处气体分子位移振幅为零，但气体压强变化幅度最大，即接收探头压电陶瓷所探测到的信号。总驻波的振幅随着探头距离变化而变化，波节处的气压振幅也随之改变，即接收信号振幅会周期性出现极大值。最后指出了驻波模型的区域适用性。

关键词：声速测量  驻波  声波  干涉  声压

中图分类号：O422.1                                文献标识码：A                        文章编号：1674-098X（2019）09（c）-0151-03

Abstract：The error in the common teaching materials is explained， about the experimental principle of sound velocity measurement with standing wave method. And a clear and simple pectination on the experimental principle is made. The main idea is the multi-order reflection is existing; in every order， the incident wave and the reflected one couple to a standing wave nearby the receiver; and these standing waves of every order sum up to a component standing wave. The reflector always places on the node of the component wave. The amplitude of the displacement of air molecule is zero on the node， but the amplitude of the air pressure is maximal and displayed by the received signal. The amplitude of the component wave changes following the change of distance between the emitter and receiver; and the amplitude of the air pressure on the node change too， as the reason of the periodic maximum value of receive signal. In the end， the model of standing wave has regional applicability.

Key Words： Sound velocity measurement; Standing wave; Sound wave; Interference; Sound pressure

聲速测量是许多高校的基础物理实验，一般采用示波器、函数信号发生器、两个压电陶瓷超声换能器作为实验仪器。两个换能器平行正对放置，分别称为发射探头和接收探头，发射探头根据电信号产生超声波向对面传播，实验根据接收信号的极大值所在位置测得波长，再由频率计算声速。

实验中接收探头的信号强度会随着探头距离改变而变化，探头距离每改变半个波长接收信号出现一次极大值。对于这种现象的解释，很多大学物理实验教材上的叙述不完善;不少期刊文献也对此做过讨论，并给出了合理的解释，但文献中的公式推导又比较抽象，物理图像不够清晰。本文说明一下常见教材中原理解释的不完善之处，并用图像清晰的方式重新梳理实验原理。

1  常见教材中原理解释的不完善之处

很多教材认为两个探头之间的声波是驻波，接收信号强度之所以会呈周期性变化，是因为接受探头时而处于驻波波腹，时而处于驻波波节，按如下方式解释实验原理[1-5]。

发射探头发出超声波，传播到接收探头处，在介质表面产生反射。那么入射波和反射波就会在两个探头之间产生定域干涉，而形成驻波。若入射波与反射波振幅近似相等，记为A。那么空间任意x处的合振动为两列波的叠加。

入射波：

反射波：

合振动：

这就是驻波方程，式中的x是空间位置坐标，被认为是接收探头位置，位置不同检测到的振幅也不同。这种解释的错误之处在于忽视了反射波的相位与两探头距离的相关性，同时又混淆了“任意”位置x和接收探头位置的关系。

如果入射波的波动方程给定，那么接收探头在不同位置形成的反射波，应该具有不同的波动方程，但上述教材中的方程并没有体现这一点。正确的反射波方程中，相位信息里面除了包含任意位置变量x，还应该包括两个探头的距离信息（记为L），应有如下形式：

同时，接收探头的位置并不是位置变量x，而应该对应探头距离L。

2  接收探头始终位于驻波波节

超声波入射到接收探头表面会发生反射，入射波和反射波相干会形成驻波，但反射面始终位于驻波的波节。不需要公式推导，只需要考察驻波形成的条件与反射处的相位差。

驻波形成的条件是两列波在同一直线上沿相反方向传播，且两者的振幅、频率与传播速度都相同。接收探头表面的入射波和反射波除了振幅会有些许的差别外，其它条件均满足。而铝质表面对空气中声波的反射比约为0.99994[6]，所以两列波会形成近似的驻波，它与理想驻波的差别是在波节处存在微量的振幅。

考虑到半波损失[7]，入射波与反射波在反射面存在半个周期的相位差，而这个相位差不随任何情况发生改变，所以反射面的位置会始终处于驻波的波节。

入射波经过反射，振幅变小，相位取反，叠加形成近似驻波原理如图1所示。

3  存在次级反射波

如果只有前述的1列入射波和1列反射波，那么它们相干形成的驻波振幅就不会随着探头距离变化而变化;接收探头又始终位于波节的位置，所以检测到信号强度也就与探头距离无关。但实验中观察到的信号强度会随探头距离而改变，这实际上是由于存在次级反射波引起的[6-11]。

发射探头发出的超声波在接收探头反射后，会继续传播，到发射探头处再次发生反射，又射回接收探头……这样声波会在两个探头之间来回传播，反射多次。

对接收探头而言，会接收到多个入射波，也相应地产生多个反射波。约定：把发射探头由电信号产生的超声波称为接收探头的0级入射波，对应的反射波称为0级反射波;再经由发射探头反射回来的入射波称为1级入射波……依次类推。

如第2节所述，同级的入射波和反射波会相干形成驻波，i级入射波与i级反射波形成i级驻波;那么经过多次反射，在接收探头附近就可以看成是多个驻波的叠加。这些驻波有着共同的波长，以及共同的波节、波腹位置（反射面是每一级驻波的共同波节）。所以这些驻波叠加之后仍然是驻波，反射面也仍然处于合驻波的波节，而合驻波的振幅则取决于各级驻波的相位差。

记两个探头的距离为L，声波波长为λ，那么在接收探头的表面，相邻两级入射波的波程差为：

当波程差为波长整数倍时两者相位相同，需满足条件：

即探头距离是半个波长整数倍时，相邻两级入射波同相位，各级反射波同相位，形成的各级驻波也同相位，叠加振幅最大。

4  接收探头测量到的是空气压力变化

随着两个探头之间距离的改变，合驻波的振幅在变化，但是接受探头却始终位于波节位置，振幅近似为零，那怎样解释实验中接收信号强度的变化呢？

前面讨论的界面反射等等都是指位移波，反映的是空气分子偏离平衡位置的位移大小，波腹代表分子活动空间大，波节处空气分子不偏离平衡位置。但压电陶瓷测量到的并不是空气分子的位移幅度，而是空气压强的变化。

声波的振动周期远小于空气热扩散时域，所以声波传播区域的气体伸缩可看作绝热过程。由绝热过程的物态方程pVγ=常量，可以得出气体压强与气体分子数密度满足p∝nγ（刚性双原子分子的理想气体γ≈1.4）。而在波节处分子数密度随振动呈周期性变化（原理示意如图2所示），所以波节处的压强也与声波同周期振动。

从驻波能量的角度来分析压强变化的幅度。驻波的能量可以看作波腹处分子动能和波节处气体伸缩势能的周期性转化。当波腹处分子运动到平衡位置时，波腹分子动能最大，波节伸缩势能为零，压强为外界气压。反之，波腹分子位移极大时，分子动能为零，全部转化为波节势能，波节气体压强达到极值。总之，波节压强变化幅度与波腹振幅正相关，振幅越大，压强变化幅度也就越大。

综上所述，有两点结论：（1）接收信息对应波节处的气体压强，而气体压强的振动幅度取决于合驻波振动强度。（2）改变两探头距离，合驻波振动强度周期性变化，以半个波长为周期，所以接收信息的振动幅度也呈现相应规律。

5  驻波模型具有区域适用性

很多文献讨论了驻波模型的适用性，考虑的因素大都為反射与传播过程中声波的损耗与衰减，认为声波的衰减使得合振动偏离理想驻波[6，8，12-13]。实际上即便没有衰减，两个探头之间的区域也不是全是驻波。

在第2节讨论了接收探头表面入射波与反射波的成对形成驻波，实际上在发射探头表面也存在同样的情况。声波在两个探头之间来回反射无限次，在发射探头表面也存在同级入射波与发射波形成驻波的情况。但与接收探头不同，发射探头附近除了这一系列驻波，还增加了一列强度很大的发射波，即由电信号通过压电陶瓷直接产生的那列波，该波为行波，与那些驻波叠加后不再是驻波。所以驻波模型仅在接收探头附近成立，在发射端并不成立，它们中间的区域是两者的过渡。

另一个问题是接收信号极大值的明显程度。两个探头距离变化时，接收信号的振幅也随之变化，那么极大值和极小值的比例与那些因素有关？

接收信号振幅最大的条件是相邻两级入射波同相位，把这种情况与相邻两级反相位的情况进行比较，考察各自合振幅的大小。

0级入射波经过反射、传播、再反射、再传播，成为1级入射波，期间会有衰减，记强度变为原来的a倍，a∈（0，1）。那么其他各相邻两级入射波的强度保留系数也应该为a;并且它们形成的各级驻波之间也应该有同样的衰减比例。

记0级驻波强度为1，那么邻级驻波相干加强时，合驻波强度应为：

邻级相位相反的情况，合驻波的强度：

两种情况波强的比例为（1+a）/（1-a），这个比例越大极大值信号越明显。若a趋于零，该比例变为1，极大值信号不再存在。即当衰减程度非常大时，极大值信号会变得不明显。所以实验中两个探头的距离不宜太远，具体距离还与设备性能有关。

6  结语

声速测量实验是很多高校的基础实验，但对该实验的讨论却一直讨论的很热烈，在百度学术检索“声速测量实验”，近3年发表文献有1327篇，这在某种程度上反映出了广大教学工作者与流行教材之间的冲突。而发表在各期刊上的文献，虽然给出了驻波法测量的合理解释，但实验原理的叙述普遍采用较抽象的公式推导，物理图像不够清晰。

本文点明了常见教材错误的所在之处，重新梳理了实验原理：发射波与反射波成对组成驻波，各级驻波叠加仍是驻波，物理图像更加清晰;压电陶瓷测量的是空气压力，摒弃了其他文献采用的压强波的叙述方式，更加直观。对驻波模型的适用性问题，特别指出了具有区域性，只有在接收探头附近才是近似驻波。以上可供广大教学工作者在日后编写教材中参考，也可为实际测量数据的拟合提供思路。

参考文献

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[5] 徐建强，徐荣历.大学物理实验[M].2版.北京：科学出版社，2014.

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