高考中三视图还原几何体的常用方法

广东省雷州市第一中学 梁艳菊

三视图在高考中占有重要地位，该知识点着重考察同学们的想象力和空间几何能力，然而对于高三有部分空间想象能力比较差的学生来说短时间内很难去培养和提高，作为高三的数学老师，如何让学生快捷的几何体的三视图还原回几何体呢？因此根据几年的高三教学经验来谈谈对三视图还原方法的一些个人见解。高效的课堂是非常重要的，把握数学知识的解决方法，才有效的启发数学思维，提高学习的效率。

三视图的投影形成：如右图，将物体放在三面投影体系中，尽可能使物体的各个面平行或垂直于其中的一个投影面，保持物体不动，将物体分别向三个投影面作正投影，就得到物体的三视图。

第一类题型：棱锥或棱柱

例1：如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各棱中，最长的棱的长度为（ ）

解：以长方体为载体：

第一步，先看俯视图，左下方没有角，则在长方体中用"×"去掉两个角，如图①所示；

第二步，再从正视图来看，左下方没有角，则在图①的基础上，用"×"去掉一个角，同时正视图中右边的直角边中点上有一点，则在长方体上标上一个点A，如图②所示；

第三步，最后到侧视图，三角形的顶点在视线的右边上，右上方、右下方没有角，则在图②基础上，用"×"去掉两个角，如图③所示；

第四步，把长方体剩下的顶点和标点连起来构成一个三棱锥，如图④所示。

从图中可知PA为最长边，可求得PA=6，故选B

此类题型常以长方体或正方体作为载体，根据三视图逐一排除顶点,最后把剩下的点连起来构成空间几何体，再检验该几何体三视图是否符合。第一步：从俯视图入手；第二步：再到正视图第三步：最后到侧视图.

此种方法对于想象力不强的学生来说比较容易接受，主要多做练习来熟悉就可以灵活应用，但是有一点不足之处是对于一些切割体和组合体的题型就不能解决了。

第二类题型：切割体

例2：某几何体的三视图如图(2)所示，则该几何体的表面积为（ ）

A.50 B.56 C.60 D.70

解：第一步，根据正视图，在长方体中

切割出四棱柱ADEN-BCFM，如图（1）

第二步：根据侧视图，在长方体中切割出四棱柱CDEFABNG,如图（2）

第三步：根据俯视图，在长方体中切割出ABP-DCE,如图（3）

第四步：观察图(1)(2)(3)的公共点，发现A、B、C、D、E、N为公共点，则将这些点连起来得到多面体ABCDEN如图（4），反过来检验发现该多面体的三视图满足三视图的要求，从图（4）中容易算出该多面体的表面积为60,故选C

主要的方法技巧是找出正视图，侧视图，俯视图还原后的公共点，把这些点连起来可得到切割体，特别也要审视三视图中的虚线和实线.

第三类题型：组合体

例3：如图为一个几何体的三视图，正视图和侧视图均为矩形，俯视图中曲线部分为半圆，尺寸如图，则该几何体的体积为( )

解：将视图分为两部分，图（1）和图（2）；按“高平齐、长对正、宽相等”的原则把图（1）和图（2）分别投影到投影面上，将其还原，可知两个简单几何体分别为三棱柱和半圆柱，再验证还原所得几何体的三视图是否与已知相符，可得如图（3），计算组合体的体积，可知答案为A。

关于组合体主要的方法技巧是结合各个简单几何体的三视图，对每一部分所对应的几何体进行还原，每个几何体得到充分的确定之后，结合各部分所对应的位置重新组合，形成一个整体。

这里讲了三种常用方法将三视图还原成几何体，一种是将几何体放在长方体中排除点法，第二种是切割体，找出公共点再连接起来，最后一种是组合体，分开来还原几何体。总的来说，在三视图还原中掌握好这些还原技巧，可降低难度，提高解题效率。