基于SP谐振补偿网络的ICPT系统鲁棒控制研究

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(上海工程技术大学 电子电气工程学院，上海 201620)

0 引言

感应耦合式电能传输(inductively coupled power transmission,ICPT)系统利用交变磁场实现电能的无线传输，其主要由交变电源、电磁耦合线圈、谐振补偿网络三部分构成。和传统的有线充电方式相比，ICPT系统采用非接触方式实现电能的无线传输并具备安全、便捷、可靠、低维修成本等优势。随着国内外学者对ICPT系统中谐振补偿网络、磁耦合线圈、系统控制策略和辐射安全等方面的理论研究不断深入，该系统在电动汽车、智能家居、器官移植等设备的充电系统中得到广泛应用[1]。

ICPT系统为高阶非线性系统，所以系统参数摄动和外部扰动等不确定因素都会对该系统的鲁棒性产生不可避免的影响。为提高ICPT系统在不确定因素影响下的鲁棒性，ICPT系统需通过一定的控制方法实现系统的闭环控制。例如，比例、积分、微分(proportion,integral and differential,PID)控制具有良好的信号跟踪能力，然而在高阶非线性系统中PID的控制参数很难确定，其控制结果不是很理想[2]。李砚玲等人采用μ控制方法提高π型ICPT系统对谐振频率摄动的鲁棒性[3]，然而通过该方法设计的控制器阶数较高，因此无法得到实际应用。H∞优化控制方法通过跟踪外部扰动信号、不确定因素和实际系统与近似模型的误差来提高系统的鲁棒性，然而利用该方法分析闭环摄动系统的鲁棒性较为保守。为避免系统鲁棒性的分析结果过于保守，本文采用μ理论对系统的鲁棒性进行分析。

ICPT系统中原边和副边线圈之间的空气间隙较大，故采用谐振补偿网络来提高系统能量传输的效率。谐振补偿网络主要有串/串联(series series,SS)、串/并联(series parallel,SP)、并/并联(parallel parallel ,PP)、并/串联(parallel series ,PS)四种形式[4]。其中，SS型谐振补偿网络的原边和副边的谐振补偿电容均与电磁耦合线圈串联；SP型谐振补偿网络的原边谐振补偿电容与电磁耦合线圈串联，而副边谐振补偿电容与电磁耦合线圈并联；PP型谐振补偿网络的原边和副边谐振补偿电容均与电磁耦合线圈并联；PS型谐振补偿网络的原边谐振补偿电容与电磁耦合线圈并联，而副边谐振补偿电容与电磁耦合线圈串联。

本文选用SP型谐振拓扑作为ICPT系统的谐振补偿网络并利用广义状态空间平均(generalized state space averaging,GSSA)方程将该系统转为线性系统，采用线性分式变换(linear fractional transformation,LFT)方法将ICPT系统中的标称和不确定因素分离并建立结构化不确定性模型。在结构化不确定性模型的基础上利用H∞优化控制方法设计鲁棒控制器，仿真并分析ICPT闭环摄动系统的鲁棒性。

1 ICPT系统的电路拓扑

图1为SP型ICPT系统的电路拓扑，由图可知交变电源主要由直流电源Edc和全桥逆变电路构成，该电源产生的交变信号通过电磁耦合线圈产生交变磁场，从而将原边产生的电能通过耦合线圈传输到副边。原边与副边电磁耦合线圈的电感量分别为Lp和Ls，由于两者存在一定的空气间隙，互感M偏小使得电能传输过程中会有大量的能量损耗，因此系统原边和副边均采用谐振补偿网络来减少ICPT系统的无功功率，从而提高系统的能量传输效率，原边谐振补偿电容和副边谐振补偿电容的电容量分别为Cp和Cs。副边谐振补偿网络输出的电压通过全桥整流电路、LC滤波电路给负载供电，该系统的负载可等效为电阻Rd。

图1 SP型ICPT系统的电路拓扑

为实现ICPT系统原边与副边谐振补偿网络的相互独立，可对该系统原边与副边耦合电路进行解耦。其中副边到原边的反射阻抗Zr见公式(1)，公式中Zs为副边电路阻抗，ω为系统工作频率。由全桥整流电路、滤波电路和系统负载构成的整体可等效为电阻Rl，该电阻的阻值见公式(2)。

(1)

(2)

根据上述理论得到的系统解耦等效电路如图2所示。交变电源uac可等效为随时间周期性变化的方波信号。原边解耦等效电路中Rr和Lr构成反射阻抗Zr。副边等效电路通过 Thevinin定理实现电路拓扑的转换，副边解耦补偿电路的电感Ls和电容Cs构成并联谐振补偿电路。

ICPT系统中谐振补偿网络产生的谐振频率对整个系统的工作状态产生重要影响，只有当该系统的谐振频率与交变电源产生的交变频率基本一致时，系统处于最佳工作状态。此时ICPT系统的工作频率即为系统谐振频率ω0，故其原边和副边谐振补偿网络的谐振频率见公式(3)。

(3)

当该系统处于谐振工作状态时，原边谐振补偿网络可视为短路，副边谐振补偿网络可视为断路，副边补偿电容Cs两端的电压us的表达式见公式(4)。

(4)

2 ICPT系统结构化不确定性模型的建立

2.1 广义状态空间平均方程

ICPT系统对应的等效电路如图3所示。图中EdcSi(t)为交变电源产生的方波信号，其中Si(t)的初相角记为0，其表达式如公式(5)所示。方波信号的交变频率与全桥逆变电路中MOS管的开关频率相同，其对应的角频率记为ω；原边电磁耦合线圈的电感Lp和原边谐振补偿电容Ls串联构成原边谐振补偿网络，副边电磁耦合线圈的电感Ls和副边谐振补偿电容Cs并联构成副边谐振补偿网络；电压受控源jωMis和jωMip共同构成电磁耦合线圈的互感等效模型；电流受控源idSr(t)和电压受控源udSr(t)共同构成全桥整流电路等效模型，其中Sr(t)的表达式见公式(6)。

(5)

(6)

将ICPT系统中流经电感的电流和电容两端的电压作为状态变量，得到的状态空间方程如公式(7)的方程组所示。因为方程中存在Si(t)和Sr(t)这两个线性时变量，故需建立ICPT系统的GSSA方程[5]来使其线性化。

(7)

为建立GSSA方程，首先需对系统中的状态变量和线性时变量进行傅里叶变换。当系统处于谐振工作状态时，流经原副边谐振网络的交变信号可视为正弦波，因此状态变量的基波分量和一次谐波可近似为直流和交流分量，其中交流分量可通过实部和虚部来体现。该模型的状态变量x见公式(8)。

x=[Re1lm1Re1

lm1Re1lm1

Re1lm100]

(8)

由第一小节的公式(4)可知us和uac的初相角均为0，故这两个线性时变量经傅里叶变换后得到的一次傅里叶系数相同，即:

(9)

根据傅里叶变换的相关性质和公式(7)建立ICPT系统的GSSA方程，其对应的表达形式如公式(10)的方程组所示。其中该系统的输入量u为直流电源Edc，输出量y为负载电阻Rd的两端电压ud，广义矩阵A、B、C、D构成系统的广义传递矩阵G为线性常数矩阵[6]，故GSSA方程将该非线性系统转为线性系统。

(10)

2.2 结构化不确定性模型建立

ICPT系统会受到系统参数摄动和外部扰动等不确定因素的影响，考虑到该系统的实际参数无法准确确定，故利用线性分式变换(LFT)的方法将系统的不确定因素从标称因素分离出来，建立ICPT系统结构化不确定性模型[7]，其结构化不确定性模型方程为：

Γ(Δ,M)=M22+M12(I-M11Δ-1)M21

(11)

其中:分块矩阵M11、M12、M21、M22构成ICPT系统的标称矩阵M，该矩阵为系统标称因素的集合，Δ为不确定因素构成的系统摄动矩阵。

取负载电阻Rd的阻值变化作为ICPT系统的参数摄动，其摄动形式为：

Rd=Rdnom(1+pφ)

(12)

式中,Rdnom为负载电阻Rd的恒定值；p为负载电阻Rd的变化范围，在本文中p值取1；φ为负载电阻Rd的摄动量，其变化范围在-1和1之间。

由公式(7)可知负载电阻Rd的倒数为系统的状态空间系数，因此根据公式(11)对Rd的倒数进行LFT变换，其表达形式为：

(13)

将上述Rd摄动情况下的理论分析应用在ICPT系统中便得到该系统在参数摄动影响下的上LFT的结构化不确定模型，该模型如图4所示。由图可知，当ICPT系统存在参数摄动这一不确定因素时，在原系统的输入信号w和输出信号z的基础上新增了y和u作为扰动输入和输出信号。

图4 ICPT系统的结构化不确定性模型

图中Δ为系统摄动矩阵，该扰动系统中Δ为Rd的摄动量φ并以对角矩阵的形式存在。考虑到Δ的具体形式未知，故需对ICPT系统标称因素构成的广义标称传递矩阵GSP建立如公式(14)所示的GSSA方程，其下标SP表示ICPT系统采用SP型谐振补偿网络。

(14)

根据分块矩阵的特性可将GSP分成：

(15)

将公式(15)代入公式(11)便得到该扰动系统的参考模型，即：

Γ(Δ,GSP)=GSP-22+GSP-12(I-GSP-11Δ-1)GSP-21

(16)

通过上述的理论分析得到的系统参数如表1所示。

表1 ICPT系统电气参数

3 鲁棒控制器设计

外部扰动对ICPT系统的影响不容忽视，故对ICPT系统引入系统参数摄动和外部扰动等不确定因素并进行闭环控制[8]，其设计框图如图5所示。由图可知，PSP为扰动系统的广义标称对象，其结果可根据第二小节的GSP理论分析计算得出；Δ是系统摄动矩阵，其大小可以通过矩阵范数来衡量；ref为系统的参考量，其与实际输出量的偏差通过控制器K进行控制来保证系统的稳定输出。

图5 ICPT闭环摄动系统的设计框图

d为系统的外部扰动且其具体形式未知，若仅用常数来表示扰动引起输出信号的不确定性，则系统全频带不确定性的幅值变化相同，这样扩大了系统的扰动范围从而无法得到高性能的控制效果。因此ICPT系统进行闭环控制时，需要采用加权函数[9]Wp和Wu对扰动输出信号的范围进行限定，得到：

(17a)

(17b)

由于系统在不确定因素的作用下，在PSP变化的同时，也对闭环传递函数TSP造成影响，故将PSP的变化量对TSP的影响程度视为系统敏感度[6]S，其定义为：

(18)

由于敏感度和加权函数对系统误差信号跟踪及干扰抑制等指标具有重要影响，而这些指标对系统的稳定性和控制性能的评估起到决定性作用，故由此可得到系统标称稳定和性能指标判定条件为：

(19)

考虑到系统不确定因素的大小是由摄动矩阵的无穷范数来衡量的，因此本文采用H∞优化控制方法设计闭环控制器，用该方法设计的控制器不仅满足如公式(19)所示的判定条件，还需保证ICPT系统中外部干扰输入d到评估输出e_p、e_u的传递矩阵无穷范数小于给定值γ。控制器K的设计流程如图6所示。

图6 ICPT系统的闭环控制器设计流程图

4 仿真结果

4.1 ICPT系统的鲁棒分析

为验证闭环控制器的控制性能，需对ICPT闭环控制系统的鲁棒性进行分析。为方便实际系统的鲁棒性分析，可将图6所示的闭环控制结构框图简化为系统摄动矩阵Δ和标称闭环传递矩阵Gclp两部分并构成ICPT闭环系统的结构化不确定性模型，故该系统鲁棒性的判定条件见公式(19)。根据系统摄动矩阵Δ不确定因素的不同，可通过鲁棒稳定性和鲁棒性能[6]两方面来综合衡量系统的鲁棒性。为避免结果的保守性和不必要性，采用μ理论计算Gclp的结构奇异值大小作为该系统鲁棒性的判定依据并记为μΔ(Gclp)[10]。

(20)

当系统摄动矩阵Δ只有系统参数摄动引起的不确定因素时，得到的μΔ(Gclp)大小可作为系统鲁棒稳定性的衡量标准。图7为闭环系统的鲁棒稳定性，其中的虚线和实线分别代表μ值随频率变化的上限和下限变化趋势。

图7 ICPT闭环系统的鲁棒稳定性

由图可知，当角频带在102～105rad/s范围内，因系统参数摄动和外部扰动的作用下μ值在10-3～1之间呈现不规则变化趋势。在该范围内μ的最大值为0.91，即系统自身摄动矩阵的无穷范数满足小于1/0.91这一条件时，μ值小于0.91。由第二小节可知系统自身摄动矩阵的无穷范数小于1，故ICPT系统中表征系统鲁棒稳定性的μ值均小于1，证明控制器K能够保证系统的鲁棒稳定性。

ICPT系统的鲁棒性能可通过系统扰动对象集合的干扰抑制、误差信号跟踪等方面来体现。当系统摄动矩阵Δ在系统自身不确定因素的基础上加入性能不确定因素构成增广摄动矩阵时，得到的μΔ(Gclp)大小可作为系统鲁棒性能的衡量标准。

图8表征闭环系统的鲁棒性能，其中的虚线和实线分别代表表征鲁棒性能的上限和下限变化趋势。由图可知，当角频带在102～104rad/s范围内，因系统自身摄动的作用下μ值呈现不规则变化趋势，而当角频带在104～105rad/s范围内μ值为恒定值，由此说明在加权函数和控制器的共同作用下，可抑制外部扰动d对系统的干扰。在102～105rad/s角频带范围内，μ的最大值为0.92，即系统增广摄动矩阵的无穷范数小于1/0.92这一条件时μ值小于0.92，故该系统有效地实现误差信号的跟踪，并达到鲁棒性能的要求。

图8 ICPT闭环系统的鲁棒性能

4.2 ICPT系统的暂态分析

为更好地验证控制器K对系统鲁棒性的影响，本文仿真得到该系统在不确定因素影响下的暂态响应并进行分析。图9为ICPT系统的开环和闭环暂态响应。从图中可以看出系统在开环状态下的响应时间为0.03 s且输出电压的超调量变大。加入控制器K后，输出电压的响应时间缩短为0.01 s左右且没有超调量，同时当负载电压达到稳定状态时的电压纹波减小，由此可见控制器K实现系统暂态响应的稳定输出。

图9 ICPT开环和闭环系统的暂态响应图

5 结论

本文通过H∞优化控制方法设计的鲁棒控制器并建立ICPT闭环控制系统。首先采用GSSA方程将基于SP谐振补偿网络的ICPT系统线性化，然后通过LFT方法将ICPT系统中不确定因素从标称因素中分离并建立该系统的结构化不确定性模型。考虑到系统不确定因素的大小可通过系统摄动矩阵的无穷范数来衡量，故采用H∞优化控制方法设计ICPT的鲁棒控制器，该控制器可消除系统参数摄动和外部扰动对ICPT系统的影响，与此同时，在该控制器基础上建立的ICPT闭环控制系统即使在不确定因素的影响下也能保证标称闭环传递矩阵的结构奇异值小于1，具有很好的鲁棒性能。基于H∞鲁棒控制的ICPT闭环控制系统可广泛应用于电动汽车、智能家居等设备的电源充电领域，在提高电能传输效率的同时，也能提高系统输出的电能质量。