引导学生在探求数学原理和解题过程中提升素养——两种计数原理观摩课

☉江苏省金湖中学 陈万斌

《数学课程标准》提出：数学素养是现代社会每一个公民应该具备的基本素养，发展学生的核心素养是数学教育的重要任务，是培养现代公民不可缺少的要素.数学抽象、数学推理、数学建模是数学学科核心素养中重要的三个方面，而这三个方面又是数学基本思想的升华.数学基本思想是学生将知识转变为能力的桥梁，获取的渠道主要在课堂，所以渗透核心素养的主要途径还是课堂教学.

教师在平时的课堂教学中如果注重课堂设计、关注数学思想，使学生切实掌握数学思想，不仅能让学生学到知识、方法、思想，还能让学生领会数“理”，更能让学生感悟、渗透数学素养.因此笔者在教学中非常重视引导学生寻求数“理”，下面是笔者在江苏省郑梁梅中学开设的一节观摩课，在此展现给大家.

一、教学目标

（1）让学生掌握分类加法计数原理、分步乘法计数原理.

（2）正确地理解“完成一件事”的含义，能抓住问题的特征，正确地选择“分类”或“分步”.

（3）利用两个原理解决一些简单的实际问题，渗透数学学科核心素养.

二、教学重难点

教学重点：抓住特征，厘清“分类”和“分步”.

教学难点：合理进行分类或分步，利用计数原理解决问题.

三、教学过程

（一）情境引入

师：早有所闻，江苏省郑梁梅中学的学生聪明好学，今天有了一次体验做“郑中”教师的机会.但险些失去这次机会，金湖到涟水路途较远且客车一天上午仅有三个班次：7：00、8：00、10：00.

师：我乘客车从金湖到涟水有几种方法？

生：有3种方法.

师：我当时坐在车上，浮想联翩，得到以下两点感受.

感受一：（思考到达涟水的其他走法）

师：在江苏省淮安市内，就交通而言，涟水与其他县有何区别？

生：涟水县有飞机场.

师：真羡慕涟水人，有飞机场.

师：倘若从金湖到涟水有飞机航班（我就能很快赶到涟水）.

师写在黑板上：

乘客车：金湖到涟水有三班.

乘飞机：金湖到涟水有两班.

师：这样从金湖到涟水就有几种走法？

生：3＋2＝5（种）.

师：为什么是3＋2，不是3×2？

生：每一类中的每一种方法都能“独立地”“完成这件事”.

师：金湖有“湖”，涟水有“水”，不妨设还有水路可以到达.

即乘船：金湖到涟水有四班，则金湖到涟水有几种走法？

生：共有3＋2＋4＝9（种）.

师：你能联想到什么？从数学角度抽象概括出一般性结论.

生：独立地完成一件事共有k类方法，每一类分别为mi种方法（i=1，2，…，k），则完成这件事共有m1+m2+…+mk种方法.

师：数学家为了加深记忆，形象地称之为“加法”原理.

师边说边写：加法原理方法数为m1+m2+…+mk（分类）.

感受二：（可以经过中转站而分步到达）

师：我当时还有一个想法，我们都属于淮安市，各县城与淮安市汽车总站每天通车次数很多，我可以怎么来？

生：如果金湖到淮安总站一天4班，淮安总站到涟水一天6班，则共有4×6＝24（种）走法.

小组讨论.

师：两种线路时间上要“协调”起来.（课后思考）

师：你能从中类比得到什么结论？

生展示并回答：通过类比加法原理知道，如完成这件事，需要k个步骤，每一步都有mi（i=1，2，…，k）种方法，且每一步缺一不可，则共有m1×m2×…×mk种方法.

师：你们看叫什么原理好呢？区别在哪儿？

生：这叫乘法原理，如果采用“分类”完成这件事，就用加法原理；如果采用“分步”完成这件事，就用“乘法”原理.

（二）探求新知

师：这就是今天所讲的两个计数原理，让学生打开课本浏览书中的两个计数原理的叙述.你们有什么启发？

生：（1）理解“完成这件事”的具体含义；完成这件事要分清是分类还是分步；分类用加法原理，分步用乘法原理；（2）数学知识来源于实际生活，我们学会了抽象概括；数学又高于生活，数学也是活生生的，与我们的生活息息相关.

师：按照这两种想法，我到涟水可以有几种方法？你能想到什么？

生：共有3＋2＋4＋4×6＝33（种）.

师：有何启发？为什么呢？

生：先分类后分步；考虑问题一般先从大局考虑，即先分类.

师：如何区别“分类”和“分步”呢？

生：从中提炼出“完成这件事”的真正含义，“这件事”是分类完成还是分步完成，“分类”或“分步”是由“完成这件事”所决定的.

师：你们能举例说明“分类”和“分步”的区别吗？

学生讨论、代表展示；教师进行评论、点拨、鼓励.

（三）学以致用

问题1：3本不同的语文书，4本不同的数学书，2本不同的英语书，从中任取1本书，你有多少种选法？

生：3+4+2=9（种）.

师：为什么相加呢？

生：完成“选1本书”这件事，分三类书种，因而采用加法原理.

变题1：从中任选2本不同学科的书，有多少种选法？

生：先分三类，即：（1）选择语文、数学书各1本，（2）选择语文、英语书各1本，（3）选择数学、英语书各1本.而每一类再采用分步完成，故选法总数=3×4+3×2+4×2=26（种）.

师：你有何启发？

生：解决问题应考虑“先分类再分步”的思路.

变题2：从中选3本含语、数、英学科的书，有多少种选法？

生：3×4×2=24（种），“完成这件事”是采用“分步”解决的，因而采用乘法原理.

师：抓住题意的特征和含义，进行分类或分步.

（四）巩固提高

（1）例题探求.

例题1：从0、1、2、3、4中取三个不同的数字能组成多少个三位数？

教师引导学生画框图.

生：完成这件事分三步，先在百位上填数，之后在十位上填数，最后在个位上填数，共有4×4×3=48（个）.

师：本题的解决对我们有何启发？

生：画框图比较直观明朗，容易理解.

师补充：要求学生有建模能力.

模型化能力：（画框图）培养学生的直观想象素养.

例题2：4名同学参加语、数、外三项不同的比赛，每位学生必须参加且只能参加一项比赛，有多少种不同的方案？

生：这件事就是“共4名同学，每名同学选择一项比赛”，4名同学都选定比赛科目后就算是“完成”事情，所以需要分四步完成，即有3×3×3×3=34（种）.

（2）重温例题.

回到例题1.

师：你们有其他解题方法吗？

生展示：先不管百位上不能安排“0”这一特殊情况，即总体考虑，然后把不满足要求的情形去掉.即有5×4×3-4×3=48（个）.

师：有何启发？

生：这叫逆推法，也叫排除法、去杂法.

师补充：需要学生有反推、倒推的逻辑思维能力.

逻辑化能力：培养学生的逻辑推理素养.

回到例题2：把4封不同的信放入3个不同的邮箱，有几种不同方案？

生：4+4+4=12（种）.

师：其他同学的答案也是12种吗？

小组思考.

生：应该与4名学生选择3种比赛题意的本质一样，就是“把每一封信投入信箱”就算完成任务，应该是“分步”完成这件事，采用乘法原理，即3×3×3×3=34（种）.

师：实际生活中，邮寄4封信你是这样处理的吗？有何启发？

生：不是这样处理的.读懂题意，分四步完成这件事，即把每一封信逐一投完，事情就算完成.

师：要从习题的表面读出题中隐含的数学层面的意思，即能从实际问题抽象概括出数学问题，让实际问题呈现“数学味”，即对问题进行“数学”形式的“抽象”和等价转化.

数学化能力：对实际问题进行数学转化，培养学生的数学抽象素养.

变题1：4名同学参加语、数、外三科不同的比赛，每科竞赛只允许一名学生参加，有多少种不同方案？

生：应该是“分步”完成事情，采用乘法原理，即3×3×3×3=34（种）.

师：有没有不同意见？

生：应该是4×4×4=43（种），本质差不多，方法为化归法.

师：抓住问题的“主语”为“科目”，理解“完成这件事”的含义是语、数、外三个科目分别被“选定”.

师：思考用计数原理解决问题的步骤？

师生共同总结：用计数原理解决问题分四个步骤，即：读题抓特征、分类后分步、建模再计算、结果要检验.

感悟提升：教会学生知识、方法及解题思想是教好学生最基本的要求，从现代的人才需求和学生终身发展要求来看，必须培养学生的数学学科核心素养，学生只有具备较高的数学学科核心素养，才能站得更高，看得更远，掌握更牢，学得更透，才能适应其一生的发展需要.核心素养的提高不是空泛的，要落实到具体的数学教学过程之中，那么，如何在课堂中加强对学生数学学科核心素养的培养呢？笔者认为：一是在知识的展现过程中，渗透数学思想，提高核心素养.因此学生应该有足够的时间去经历数学知识的发生、发展过程.二是在知识的抽象过程中，渗透数学思想，提高核心素养.数学家华罗庚曾强调：既能把薄的书读成厚的，又能把厚的书读成薄的.读薄就是通过抽象抓住本质，抓住重点，因为只有抓住本质才能更好的理解和提升数学学科核心素养.三是在解题思路的探索过程中，渗透数学思想，提高核心素养.学生是数学学习的主人.在学习过程中，要引导学生认真观察，独立思考，合作交流；要引导学生亲自去发现问题，解决问题，掌握方法.四是在解决实际问题的过程中，渗透数学思想，提高核心素养.问题是数学的心脏，学生通过解决实际问题可以巩固学到的数学知识，可以在解题的过程中培养和发展学生的数学能力、领悟数学思想、渗透数学学科核心素养.W